Поверхности постоянной средней кривизны — класс поверхностей моделирующий поверхности мыльных плёнок разделяющие области с фиксированной разницей давлений. В частном случае, если давление с обеих сторон равно, модель определяет минимальные поверхности.
Определяются как гладкие поверхности с постоянной средней кривизной.
История исследования В 1841 году Шарль-Эжен Делоне доказал, что единственными поверхностями вращения с постоянной средней кривизной были поверхности, полученные вращением кривых получаемых качением коник. Таковыми являются плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид.C. Delaunay, Sur la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, J. Math. Pures Appl., 6 (1841), 309—320.
В 1853 году Дж. Джелле показал, что если компактная звёздчатая поверхность в с постоянной средней кривизной, то это стандартная сфера.J. H. Jellet, Sur la Surface dont la Courbure Moyenne est Constant, J. Math. Pures Appl., 18 (1853), 163—167 Впоследствии Александр Данилович Александров доказал, что компактная вложенная поверхность в с постоянной средней кривизной должна быть сфера.A. D. Alexandrov, Uniqueness theorem for surfaces in the large, V. Vestnik, Leningrad Univ. 13, 19 (1958), 5-8, Amer. Math. Soc. Trans. (Series 2) 21, 412—416. На основании этого Хайнц Хопф в 1956 году предположил, что любая погружённая компактная ориентируемая гиперповерхность постоянной средней кривизны в должна быть круглой сферой. Это предположение было опровергнуто в 1982 году Ву-И Сяном с использованием контрпримера в . В 1984 году Генри К. Венте построил так называемый тор Венте — погружение в тора постоянной средней кривизны..
Существуют методы построения множества примеров.Karsten Grosse-Brauckmann, Robert B. Kusner, John M. Sullivan. Coplanar constant mean curvature surfaces. Comm. Anal. Geom. 15:5 (2008) pp. 985—1023. ArXiv math.DG/0509210. В частности, методы склеивания позволяют произвольно комбинировать поверхности постоянной средней кривизны.N. Kapouleas. Complete constant mean curvature surfaces in Euclidean three space , Ann. of. Math. (2) 131 (1990), 239—330Rafe Mazzeo, Daniel Pollack, Gluing and Moduli for Noncompact Geometric Problems. 1996 arXiv: dg-ga/9601008 I. Sterling and H. C. Wente, Existence and classification of constant mean curvature multibubbletons of finite and infinite type , Indiana Univ. Math. J. 42 (1993), no. 4, 1239—1266.
Микс показал, что не существует вложенных поверхностей постоянной средней кривизны с одним концом в .Meeks W. H., The topology and geometry of embedded surfaces of constant mean curvature, J. Diff. Geom. 27 (1988) 539—552. Кореваар, Куснер и Соломон доказали, что концы полной вложенной поверхности асимптотические ундулоиды.Korevaar N., Kusner R., Solomon B., The structure of complete embedded surfaces with constant mean curvature, J. Diff. Geom. 30 (1989) 465—503.
Приложения Помимо мыльных плёнок, поверхности постоянной средней кривизны появляются как границы раздела газ-жидкость на супергидрофобной поверхности.E.J. Lobaton, T.R. Salamon. Computation of constant mean curvature surfaces: Application to the gas-liquid interface of a pressurized fluid on a superhydrophobic surface. Journal of Colloid and Interface Science. Volume 314, Issue 1, 1 October 2007, Pages 184—198
В архитектуре поверхности постоянной средней кривизны используются в конструкциях с воздушной опорой, таких, как надувные купола и ограждения, а также в качестве источника плавных органических форм.Helmut Pottmann, Yang Liu, Johannes Wallner, Alexander Bobenko, Wenping Wang. Geometry of Multi-layer Freeform Structures for Architecture. ACM Transactions on Graphics — Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007 Volume 26 Issue 3, July 2007 Article No. 65
Примечания
Категория:Дифференциальная геометрия поверхностей