Тензорное произведение алгебр — конструкция, дающая новую алгебру по двум данным алгебрам над коммутативным кольцом. Наиболее распространён случай, когда кольцо является полем.
Определение
Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение
также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение на простых элементах вида следующим образом Kassel (1995), [ p. 32].
и затем продолжив эту операцию по линейности на всю . Полученное кольцо является R-алгеброй, ассоциативной с единичным элементом, задаваемым Kassel (1995), [ p. 32]., где 1 A и 1 B — единичные элементы A и B. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно.
Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.
Свойства
Существуют естественные гомоморфизмы из A и B в , заданые следующим образомKassel (1995), [ p. 32].:
Эти отображения делают тензорное произведение копроизведением в категории коммутативных R-алгебр.
При этом тензорное произведение не является копроизведением в категории всех R-алгебр. Здесь копроизведение дается более общим свободным произведением алгебр. Тем не менее тензорное произведение некоммутативных алгебр можно описать универсальным свойством, аналогичным свойству копроизведения:
где [-, -] обозначает коммутатор. Естественный изоморфизм задается идентификацией морфизма в левой части с парой морфизмов с правой стороны, где и аналогично .
Примечания
Литература
Категория:Полилинейная алгебра Категория:Коммутативная алгебра Категория:Теория колец Категория:Алгебры над кольцами