Вещественнозначная функция — функция, значениями которой являются вещественные числа. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому элементу области определения функции.
Вещественнозначные (обычно называемые вещественными функциями) и вещественнозначные являются основным объектом изучения в математическом анализе и, более конкретно, в теории функций вещественной переменной. В частности, многие состоят из вещественнозначных функций.
Алгебраическая структура Пусть обозначает множество всех функций, отображающих множество в вещественные числа . Поскольку является полем, может быть превращено в векторное пространство с коммутативной алгеброй со следующими операциями: — сложение векторов — нулевой элемент – скаляр — поточечное умножение.
Эти операции распространяются на из в с ограничением, что частично определённые функции и определены только в случае, когда области определения и имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения и .
Также, поскольку является упорядоченным множеством, имеется частичное упорядочение:
в , что делает частично упорядоченным кольцом.
Измеримость
-алгебра борелевских множеств является важной структурой на вещественных числах. Если имеет -алгебру и функция такова, что прообраз любого борелевского множества принадлежит этой -алгебре, то говорят, что функция измеримая. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной выше.
Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на можно, фактически, определить как -алгебру на как и все прообразы борелевских множеств (или только промежутков, что не столь существенно). Это способ, которым -алгебры появляются в теории вероятностей (колмоггоровской), где вещественнозначные функции на пространстве элементарных событий являются вещественнозначными случайными величинами.
Непрерывность Вещественные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (с предположением, что является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях топологических пространств и метрических пространств. Теорема об экстремальных значениях утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на компактном пространстве имеет максимум или минимум.
Концепция метрического пространства сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной метрики. Пространство имеет особое значение. Пределы последовательностей можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.
Непрерывные функции образуют также векторное пространство с алгеброй, представленной выше, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет -алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.
Гладкость
Вещественные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть: вещественным координатным пространством (что даёт ), топологическим векторным пространством,Существует другое определение производной в общем случае, но для конечных размерностей оно приводит к эквивалентному определению классов гладких функций. его открытым подмножеством, или гладким многообразием.
Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными выше, и являются подклассами непрерывных функций.
В теории меры Мера множества — это неотрицательный вещественнозначный функционал на -алгебре подмножествФактически, мера может иметь значения в : см. Расширенная числовая прямая.. пространства на множествах с мерой определяются из упомянутых выше вещественнозначных измеримых функций, хотя они, на самом деле, являются факторпространствами. Более точно: принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим условиям суммируемости, определяет элемент пространства . В обратном направлении: для любой функции и точки , не являющейся атомом, значение . Однако, вещественнозначные пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных выше. Каждое из пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет , а именно:
Например, поточечное произведение двух L2 функций принадлежит L1.
Другие приложения Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства: монотонные функции (на упорядоченных множествах), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях), аналитические функции (обычно от одной и более вещественных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях) и многочлены (от одной и более переменных).
См. также Теория функций вещественной переменной Дифференциальные уравнения в частных производных — область, в которой часто используются вещественнозначные функции Норма (математика) Скаляр
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Математический анализ Категория:Типы функций Категория:Общая топология Категория:Метрическая геометрия Категория:Векторные пространства Категория:Теория меры