Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращение, перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Названа в честь Юджина Вигнера, доказавшего её в 1931 г. Пространство лучей Проективное гильбертово пространство комплексного гильбертова пространства — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов , для отношения эквивалентности на , заданного следующим образом:
тогда и только тогда, когда для некоторого ненулевого комплексного числа .
Классы эквивалентности также называются лучами или проективными лучами.
Формулировка
Предварительные сведения Преобразование унитарно, если оно биективно и
Преобразование антиунитарно, если
Пусть есть унитарное преобразование гильбертовых пространств.
Определим
которое является преобразованием симметрии, поскольку
Таким же образом антиунитарные преобразования симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.
Утверждение теоремы Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное: Если и — гильбертовы пространства, и — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование , которое индуцирует .Bargmann V. Note on Wigner’s Theorem on Symmetry Operations // Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964); https://doi.org/10.1063/1.1704188
Доказательство см.
Комментарии В некоторых источникахПетрашень М. И., Трифонов Е. Д. "Применение теории групп в квантовой механике", 1967, Наука упоминается другая теорема Вигнера, которая относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.
Примечания
Литература
Категория:Квантовая механика Категория:Гильбертово пространство Вигнера