Функция Производная Дифференцирование тригонометрических функций — математический процесс нахождения производной тригонометрической функции или скорости её изменения по отношению к переменной. Например, производная функции синуса записывается как sin′(a) = cos(a), что означает, что скорость изменения sin(x) под определённым углом x = a задаётся косинусом этого угла.
Все производные круговых тригонометрических функций могут быть найдены из производных sin(x) и cos(x) с помощью , применяемого к таким функциям, как tan(x) = sin(x)/cos(x). Зная эти производные, можно производные от обратных тригонометрических функций найти с помощью неявного дифференцирования.
Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения.
Доказательства производных тригонометрических функций
Предел sin(θ)/θ при стремлении θ к 0
На диаграмме справа показан круг с центром O и радиусом r = 1. Пусть два радиуса OA и OK образуют дугу в θ радиан. Поскольку мы рассматриваем предел, когда θ стремится к нулю, мы можем предположить, что θ — это небольшое положительное число, скажем, 0 < θ < ½ π в первом квадранте.
На схеме пусть R1 будет треугольником OAK, R2 — круговым сектором KOA и R3 — треугольником OAL. Тогда площадь треугольника OAK:
Площадь кругового сектора OAK — это , а площадь треугольника OAL определяется как
Поскольку каждый объект содержится в следующем, мы имеем:
Более того, поскольку в первом квадранте, мы можем разделить на ½ , получив:
На последнем этапе мы взяли обратно три положительных члена, изменив неравенство.
Мы пришли к выводу, что для 0 < θ < ½ π выражение будет всегда меньше 1 и всегда больше cos(θ). Таким образом, чем ближе θ к 0, тем сильнее становится "сжатым" между потолком на высоте 1 и полом на высоте , который стремится к 1; следовательно, sin(θ)/θ стремится к 1, когда θ стремится к 0 с положительной стороны:Для случая, когда θ — это небольшое отрицательное число -½ π <θ <0, мы используем тот факт, что синус — это нечётная функция:
Предел (cos(θ)-1)/θ при стремлении θ к 0 Последний раздел позволяет нам относительно легко рассчитать этот новый предел. Это делается простым трюком. В этом расчёте знак θ неважен.
С использованием факт, что предел произведения является произведением пределов, а предельный результат из предыдущего раздела, мы находим, что:
Предел tan(θ)/θ при стремлении θ к 0 Используя предел для функции синуса и то, что функция тангенс нечётна и предел произведения является произведением пределов, мы находим:
Производная функции синуса
Из определения производной Мы рассчитываем производную функции синуса из определения предела:
Используя формулы сложения углов , мы имеем:
Использование пределов для функций синуса и косинуса:
Из производной гиперболических функций Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:
,
т.к.
Производная функции косинуса
Из определения производной Мы снова вычисляем производную функции косинуса из определения предела:
Используя формулу сложения углов , мы имеем:
Использование пределов для функций синуса и косинуса:
Из производной гиперболических функций Если использовать гиперболические функции, то формально можно получить, что:
Из цепного правила Чтобы вычислить производную функции косинуса из цепного правила, сначала обратите внимание на три следующих факта:
Первое и второе — это тригонометрические тождества, а третье доказано выше. Используя эти три факта, мы можем написать следующее:
Мы можем дифференцировать это, используя цепное правило. Положив , мы имеем: .
Таким образом, мы доказали, что .
Производная функции тангенса
Из определения производной Чтобы вычислить производную функции тангенса tan θ, мы используем первые принципы. По определению:
Используя известную формулу угла , мы имеем:
Используя тот факт, что предел произведения является произведением пределов:
Используя предел для функции тангенса и тот факт, что tan δ стремится к 0, поскольку δ стремится к 0:
Сразу видим, что:
Из производной гиперболических функций
Из правила частного Также можно вычислить производную функции тангенса, используя правило частного:
Числитель можно упростить до 1 с помощью пифагорового тождества, что даёт нам:
Следовательно,
Доказательства производных обратных тригонометрических функций Следующие производные можно найти, установив переменную y равной обратной тригонометрической функции, от которой мы хотим взять производную. Используя неявное дифференцирование и затем решая для dy/dx, производная обратной функции будет найдена в терминах y. Чтобы преобразовать dy/dx обратно в термины x, мы можем нарисовать эталонный треугольник на единичной окружности, положив θ равным y. Используя теорему Пифагора и определение обычных тригонометрических функций, мы наконец можем выразить dy/dx через x.
Дифференцирование функции арксинуса Пусть
где
Тогда
Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:
Подставляя сверху , имеем:
Подставляя сверху , имеем:
Из производной обратной гиперболической функции
Дифференцирование функции арккосинуса Пусть
где
Тогда
Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:
Подставляя сверху , получаем:
Подставляя сверху , получаем:
В качестве альтернативы, как только производная от установлена, производная от сразу следует путём дифференцирования тождества так, что .
Из производной обратной гиперболической функции
Дифференцирование функции арктангенса Пусть
где
Тогда
Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:
Левая сторона: , используя пифагорово тождество
Правая сторона:
Следовательно,
Подставляя сверху , получаем:
Из производной обратной гиперболической функции
Дифференцирование функции арккотангенса Пусть
где
Тогда
Взяв производную по с обеих сторон и решив для , имеем:
Левая сторона: , используя пифагорово тождество
Правая сторона:
Следовательно,
Подставляя , получаем:
Из производной обратной гиперболической функции
Дифференцирование функции арксеканса
Использование неявного дифференцирования Пусть
Тогда
(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение секанса и тангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)
Использование цепного правила В качестве альтернативы, производная арксеканса может быть получена из производной арккосинуса с использованием цепного правила.
Пусть
где and
Тогда, применяя цепное правило к , имеем:
Дифференцирование функции арккосеканса
Использование неявного дифференцирования Пусть
Тогда
(Абсолютное значение в выражении необходимо, поскольку произведение косеканса и котангенса в интервале y всегда неотрицательно, а радикал всегда неотрицателен по определению главного квадратного корня, поэтому оставшийся множитель также должен быть неотрицательным, что достигается за счёт использования абсолютного значения x.)
Использование цепного правила В качестве альтернативы, производная арккосеканса может быть получена из производной арксинуса с использованием цепного правила.
Пусть
где and
Тогда, применяя цепное правило к , имеем:
См. также Тригонометрия Математический анализ Производная функции Таблица производных
Примечания
Литература , Под редакцией Абрамовица и Стегуна, Национальное бюро стандартов, Серия по прикладной математике, 55 (1964)
Категория:Дифференциальное исчисление Категория:Дифференциальные уравнения