В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:
являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:
Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как , являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига
Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:
Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.
Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.
Имеются и другие применения многочленов Лагерра.
Несколько первых многочленов В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:
0 1 2 3 4 5 6
Рекуррентная формула Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:
предопределив первые два полинома как:
Обобщённые полиномы Лагерра Обобщённые полиномы Лагерра при неотрицательных целых n являются решениями уравнения:
так что .
Обобщённые полиномы Лагерра соответствуют формуле Родрига
и рекуррентному соотношению
где первые многочлены
Обобщённые полиномы Лагерра равны
Также в конце 2025 года из статьи в интернете томского математика Зайкова С.Ю. стало известно решение уравнения при отрицательных целых n, а 22 января 2026 года и при целых (n + a). При отрицательных целых n решением является
,
где
Например, при n = - 2, решением является
.
При неотрицательных целых (n + a) решением является
например, при a = 2 - n, т.е. n + a = 2, решением является
.
При отрицательных целых (n + a) решением является
например, при a = -3 - n, т.е. -n - a-1 = 2, решением является
.
Примечания
Категория:Ортогональные многочлены