Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство
где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .
Свойства Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой ортонормированный. Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство
где — сопряжённое, а — обратное преобразования. В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство (*), где — транспонированная, а — обратная матрицы. Собственные значения ортогональных преобразований по модулю равны , а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Например, собственные значения матрицы равны , а собственные векторы равны . Определитель ортогонального преобразования равен (собственное ортогональное преобразование) или (несобственное ортогональное преобразование). В произвольном -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений. Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразования образуют нормальную подгруппу в этой группе (специальную ортогональную группу).
Размерность 2 В случае евклидовой плоскости всякое собственное ортогональное преобразование является поворотом на некоторый угол , и его матрица в любом ортонормированном базисе имеет вид
Матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид
Она симметрична, имеет собственными числами 1 и −1 и, следовательно, является инволюцией. В подходящем ортонормированном базисе матрица несобственного ортогонального преобразования имеет вид
то есть оно является отражением относительно некоторой прямой. Собственное ортогональное преобразование есть произведение двух отражений:
Размерность 3 В трёхмерном пространстве всякое собственное ортогональное преобразование есть поворот вокруг некоторой оси, а всякое несобственное — композиция поворота вокруг оси и отражения в перпендикулярной плоскости.
Размерность n Имеет место следующая общая теорема:
Для каждого ортогонального преобразования евклидова -мерного пространства справедливо такое разложение
где все подпространства и попарно ортогональны и являются инвариантными подпространствами преобразования , причём: ограничение на есть (тождественное преобразование), ограничение на есть , все пространства двумерны (плоскости), и ограничение на есть поворот плоскости на угол .
В терминах матрицы преобразования эту теорему можно сформулировать следующим образом:
Для всякого ортогонального преобразования существует такой ортонормированный базис, в котором его матрица имеет блочно-диагональный вид:
где — матрица поворота на угол (см. формулу выше), число единиц равно размерности подпространства и число минус единиц равно размерности подпространства .
Такая запись матрицы ортогонального преобразования иногда называется приведением к каноническому виду.
См. также Ортогональная матрица Дискретное ортогональное преобразование
Литература Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра. — Физматлит, Москва, 1999. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука, 1966. Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986. Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Категория:Линейная алгебра Категория:Евклидова геометрия Категория:Движения пространства Категория:Элементарная алгебра