Тео́рия Ба́рди́на — Ку́пера — Шри́ффера (теория БКШ) — микроскопическая теория сверхпроводимости, описывающая сверхпроводящее состояние как когерентное состояние электронных пар. В её основе лежит образование куперовских пар вблизи поверхности Ферми, обычно с противоположными импульсами и противоположными проекциями спина. Теория была опубликована Джоном Бардиным, Леоном Купером и Джоном Шриффером в 1957 году, а в 1972 году они получили за неё Нобелевскую премию по физике. Эквивалентная микроскопическая формулировка была развита Н. Н. Боголюбовым с использованием канонических преобразований, которые известны как преобразования Боголюбова.

В простейшем приближении слабой связи теория БКШ описывает чистые металлические сверхпроводники с эффективным электрон-фононным притяжением и изотропным s-волновым спариванием. Явный канал парного рассеяния в редуцированном гамильтониане задаётся для электронных состояний в энергетической полосе порядка дебаевской энергии около уровня Ферми, а состояния вне этой полосыя входят в заполненное фермиевское море и в перенормировку эффективных параметров модели. Ненулевой параметр порядка в теории БКШ одновременно характеризует когерентность парного состояния и энергетическую щель в спектре квазичастиц.

История Открытие явления сверхпроводимости состоялось в 1911 году, однако его микроскопическая природа оставалась неясной на протяжении нескольких десятилетий. Понимание того, что сверхпроводящее состояние является термодинамической фазой, возникло после открытия эффекта Мейснера — Оксенфельда в 1933 году, но первые шаги к микроскопическому описанию были сделаны лишь в 1950 году. В это время независимые измерения изотопического эффекта продемонстрировали зависимость критической температуры от массы иона, что строго указало на участие колебаний кристаллической решётки в механизме сверхпроводимости. Опираясь на эти данные, Г. Фрёлих и Дж. Бардин предприняли попытки математически описать эффективное притяжение электронов, обусловленное электрон-фононным взаимодействием. Данные теоретические модели оказались неполными, так как рассматривали в первую очередь перенормировку одночастичных собственных энергий, а не формирование связанных двухэлектронных состояний. Тем не менее, параллельное развитие теории полярона заложило необходимый аппарат для описания взаимодействия электронов с фононами. В 1955 году Дж. Бардин и Д. Пайнс вывели потенциал межэлектронного взаимодействия, учитывающий как прямое кулоновское отталкивание, так и притяжение, опосредованное обменом фононами. Использование этого эффективного потенциала позволило Л. Куперу в 1956 году показать неустойчивость поверхности Ферми относительно образования связанных электронных пар. На основе этой концепции в 1957 году Дж. Бардин, Л. Купер и Дж. Р. Шриффер (теория БКШ) сформулировали микроскопическую теорию сверхпроводимости, описывающую основное состояние как когерентный конденсат куперовских пар. В дальнейшем результаты теории БКШ были переформулированы методами квантовой теории поля: в 1958 году Л. П. Горьков применил аппарат температурных функций Грина, что позволило Г. М. Элиашбергу, Й. Намбу, а также Дж. Р. Шрифферу и соавторам в начале 1960-х годов создать более общую микроскопическую теорию, строго учитывающую эффекты запаздывания и затухания в электрон-фононном взаимодействии.

Физический механизм В нормальном металле при низкой температуре заняты все одночастичные состояния ниже уровня Ферми, а низкоэнергетические возбуждения находятся только вблизи поверхности Ферми. Если между двумя электронами, расположенными в этой области, возникает эффективное притяжение, то наличие заполненного фермиевского моря радикально меняет двухчастичную задачу: даже слабое притяжение приводит к образованию связанного состояния над поверхностью Ферми. Эта задача была решена Купером в 1956 году и продемонстрировала неустойчивость нормального ферми-газа относительно образования пар. Фононный механизм притяжения можно описать как запаздывающий отклик ионной решётки на движение электрона. Отрицательно заряженный электрон поляризует положительно заряженный остов решётки, а возникшее смещение ионов создаёт область повышенной положительной плотности заряда, которая может притягивать второй электрон. В эффективной теории это приводит к появлению дополнительного взаимодействия в низкоэнергетическом канале, хотя экранированное кулоновское отталкивание в реальном металле также сохраняется и конкурирует с фононным вкладом.

Стандартная куперовская пара в теории БКШ образуется состояниями, связанными операцией обращения времени, а именно электрон с квазиимпульсом и спином спаривается с электроном с квазиимпульсом и спином . Такая парная квазичастица создаётся оператором и имеет нулевой суммарный квазиимпульс. При синглетном спаривании спиновая часть волновой функции антисимметрична, а координатная часть симметрична. Здесь локальное притяжение эффективнее действует именно в синглетном канале, тогда как образование пар с одинаковыми спинами подавлено в согласии с принципом Паули. Совокупность куперовских пар образуют сверхтекучий конденсат, в котором достигнута фазовая когерентность отдельных пар. При рассеянии одного электрона на дефекте, поведение всего конденсата не меняется пока энергия рассения не превышает энергию разрыва пары.

Теория БКШ отличается от феноменологических описаний сверхпроводников посредством теории Лондонов (1935 год) и теории Гинзбурга — Ландау (1956 год) тем, что выводит сверхпроводящие свойства непосредственно из микроскопической модели взаимодействующих электронов. Теория Лондонов описывает электродинамический отклик сверхпроводника, включая эффект Мейснера, но не объясняет микроскопическое происхождение сверхпроводящего состояния. Теория Гинзбурга — Ландау вводит комплексный параметр порядка феноменологически и особенно удобна вблизи , где длина когерентности велика. Однако из микроскопической теории БКШ при определённых условиях можно вывести уравнения Гинзбурга — Ландау и выразить их коэффициенты через параметры электронной системы. Теория БКШ объяснила существование критической температуры перехода и критического тока, скачок теплоёмкости.

Задача Купера

Для двух электронов над невозмущенным фермиевским морем состояние пары с нулевым суммарным импульсом удобно записать в виде

Здесь  — заполненное фермиевское море,  — амплитуда пары с относительным импульсом ,  — дебаевский слой над поверхностью Ферми, а  — энергия одночастичного состояния относительно химического потенциала. В простейшей модели матричный элемент притяжения полагается постоянным и равным внутри этого слоя и нулевым вне его;  — константа притяжения,  — объём образца.

Подстановка в уравнение Шрёдингера даёт для связанного состояния с энергией , отсчитанной от энергии двух электронов на уровне Ферми:

Правая часть не зависит от , поэтому пропорциональна . Условие существования ненулевого решения получается суммированием по :

где  — плотность одночастичных состояний на уровне Ферми на единицу объёма и на одну проекцию спина. Интеграл в логарифмически расходился бы при , поэтому связанное состояние возникает при сколь угодно малом . В пределе слабой связи энергия связи имеет экспоненциальный вид:

Формула относится к двухчастичной задаче над фиксированным фермиевским морем. В теории БКШ перестраивается всё основное состояние в окрестности поверхности Ферми, поэтому показатель экспоненты в формуле для щели отличается от показателя в задаче Купера, которая демонстрирует неустойчивость нормального состояния, но не является полной многочастичной теорией сверхпроводимости.

Редуцированный гамильтониан БКШ Полный электронный гамильтониан твёрдого тела содержит кинетическую энергию, кулоновское взаимодействие, электрон-фононное взаимодействие и энергию фононной подсистемы. В стандартной формулировке БКШ из него выделяют низкоэнергетический канал синглетного спаривания около поверхности Ферми. После ограничения взаимодействия дебаевским слоем и сохранения пар с противоположными импульсами редуцированный гамильтониан в большом каноническом ансамбле записывается как

В оставлены процессы рассеяния пар в пары . Это приближение сохраняет канал, ответственный за куперовскую неустойчивость, и отбрасывает остальные двухчастичные процессы, которые не приводят непосредственно к образованию когерентного парного конденсата в модели со слабой связью.

При выводе стандартного уравнения для энергетической щели обычно используются следующие приближения. Во-первых, рассматривается чистая трансляционно-инвариантная система, поэтому одночастичные состояния нумеруются квазиимпульсом и спином. Во-вторых, сохраняются только пары с нулевым суммарным импульсом и противоположными спинами. В-третьих, притяжение считается постоянным внутри дебаевского слоя и равным нулю вне него. В-четвёртых, плотность состояний около уровня Ферми считается постоянной: . Наконец, используется вариационное или самосогласованное приближение среднего поля, в котором четырёхфермионное взаимодействие расцепляется через аномальные средние.

Основное состояние, параметр порядка и щель Вариационная волновая функция БКШ для сверхпроводника в отсутствие тока имеет вид

Здесь  — электронный вакуум в выбранном одночастичном базисе,  — амплитуда того, что пара состояний пуста, а  — амплитуда того, что эта пара занята двумя электронами. Поэтому отдельный множитель в представляет собой когерентную суперпозицию в парном подпространстве (состояние пустой пары плюс состояние занятой пары). Полное состояние БКШ является произведением таких суперпозиций по всем , из-за чего оно не является собственным состоянием оператора числа частиц. Также химический потенциал выбирается из того условия, чтобы среднее число частиц совпадало с заданным.

Для действительных и среднее значение в состоянии имеет вид

Первый член в  — энергия заполнения одночастичных уровней относительно . Второй член показывает выигрыш энергии от когерентного парного рассеяния: он содержит квадрат суммы амплитуд . Такая структура требует согласования фаз парных амплитуд и выражает микроскопическое содержание макроскопической фазовой когерентности сверхпроводника.

Параметр порядка, или энергетическая щель, определяется аномальным средним:

Величина играет двойную роль: она является параметром порядка, отличающим сверхпроводящее состояние от нормального, и одновременно определяет минимальную энергию одной боголюбовской квазичастицы. В источниках по БКШ могут использоваться разные нормировки и . Однако физический смысл заложен в безразмерном произведении .

Минимизация с ограничением даёт соотношение:

Из следуют стандартные коэффициенты когерентности БКШ:

где

При коэффициент превращается в ступенчатую функцию распределения Ферми для нормального ферми-газа. При ненулевой щели заполнение сглаживается на энергетическом масштабе около поверхности Ферми, что отражает смешивание пустого и занятого парного состояния.

Подстановка последнего равенства из в определение даёт уравнение самосогласования при нулевой температуре:

Переход от суммы к интегралу с постоянной плотностью состояний даёт

Отсюда

Знак в обозначает асимптотическое приближение слабой связи: , поэтому . Величина определяет силу взаимодействия между электронами и играет роль параметра связи. Из получается связь между критической температурой и шириной энергетической щели где  — постоянная Больцмана.

Преобразование Боголюбова и квазичастицы Тот же спектр получается из самосогласованного гамильтониана среднего поля. В этом подходе четырёхфермионный член в расцепляется по аномальным средним и . После такого расцепления гамильтониан становится квадратичным:

Этот гамильтониан диагонализуется преобразованием Боголюбова. Для действительного его можно записать как

Операторы создают и уничтожают боголюбовские квазичастицы, то есть линейные комбинации электронных и дырочных состояний. Условие гарантирует сохранение фермионных антикоммутационных соотношений. После диагонализации гамильтониан принимает форму суммы независимых квазичастиц с энергией .