Гипо́теза Бе́йтмана — Хо́рна — теоретико-числовая гипотеза относительно частоты простых чисел среди значений системы многочленов. Сформулирована и в 1962 году. Является обобщением гипотезы Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов и гипотезы о простых числах вида , а также усилением гипотезы H.
Определение Гипотеза Бейтмана — Хорна предсказывает асимптотический эквивалент количества положительных целых чисел, на которых все многочлены из заданного множества принимают простые значения. Множество из различных неприводимых многочленов с целыми коэффициентами таково, что произведение всех многочленов удовлетворяет свойству Буняковского: не существует простого числа , которое является делителем произведения для каждого положительного целого числа . Это вытекает из того, что если бы такое простое число существовало и при этом для данного все значения многочленов одновременно были простыми, то по крайней мере одно из них должно быть равно , а это может выполняться только для конечного количества значений , иначе в множестве содержался бы многочлен с бесконечным числом корней.
Назовём целое число порождающим простые числа для данной системы многочленов, если все многочлены принимают значения, являющиеся простыми числами. Пусть — количество чисел, порождающих простые числа, среди положительных целых чисел, меньших . Гипотеза Бейтмана — Хорна утверждает, что
где — произведение степеней многочленов, а — произведение по всем простым числам ():
где — количество решений для
Свойство Буняковского подразумевает для всех простых чисел , поэтому каждый множитель в бесконечном произведении положителен. Тогда интуитивно можно ожидать, что произведение также положительно, и это можно доказать (доказательство необходимо, поскольку некоторые бесконечные произведения положительных чисел равны нулю).
Отрицательные числа Для отрицательных чисел вышеприведённое утверждение не выполняется: так, если выбрать множество из одного многочлена , то его значения будут отрицательны для положительного аргумента, поэтому доля простых чисел среди его значений всегда равна нулю. Есть два равнозначных способа уточнить гипотезу, чтобы избежать этой трудности: Можно потребовать, чтобы все полиномы имели положительные коэффициенты при старшей степени, так что только постоянное количество их значений может быть отрицательным. В качестве альтернативы можно разрешить отрицательные коэффициенты при старшей степени, но считать отрицательное число простым, если его абсолютное значение является простым. Разумно позволить отрицательным числам считаться простыми числами в качестве шага к формулировке более общих предположений, применимых к системам чисел, отличающимся от целых, но в то же время можно просто умножить соответствующие многочлены на −1, если необходимо свести рассмотрение к случаю положительных старших коэффициентов.
Примеры Если система многочленов состоит из одного многочлена , тогда значения , для которых являются простыми числами, сами по себе являются простыми числами, и гипотеза становится переформулировкой теоремы о распределении простых чисел.
Если система многочленов состоит из двух многочленов и , то значения , для которых оба и — простые, являются просто меньшими из двух простых чисел в каждой паре чисел-близнецов. В этом случае гипотеза Бейтмана — Хорна сводится к первой гипотезе Харди — Литтлвуда о плотности простых чисел-близнецов, согласно которой количество пар простых чисел-близнецов меньше равно
Аналог для многочленов над конечным полем Если целые числа заменить на кольцо многочленов над конечным полем , можно задаться вопросом, как часто конечное множество многочленов в одновременно принимает неприводимые значения в , когда мы заменяем элементами . Хорошо известные аналогии между целыми числами и предполагают аналог гипотезы Бейтмана — Хорна для , но этот аналог неверен. Например, данные показывают, что многочлен в принимает (асимптотически) ожидаемое количество неприводимых значений, когда пробегает многочлены в нечётной степени, но оказывается, что он принимает (асимптотически) вдвое больше неприводимых значений, чем ожидается, когда пробегает многочлены степени, равной 2 по модулю 4; при этом он (вероятно) вообще не принимает неприводимых значений, когда пробегает непостоянные многочлены со степенью, кратной 4.
Аналог гипотезы Бейтмана — Хорна для , который соответствует числовым данным, использует дополнительный множитель в асимптотике, зависящий от значения по модулю 4, где — это степень многочленов в , по которым производится выборка .
Ссылки
Бейтмана — Хорна Категория:Открытые математические проблемы Категория:Математические гипотезы Категория:Теория чисел Категория:Аналитическая теория чисел