Постоя́нная Га́усса (обозначение — ) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:
().
Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил, что
чтобы
где Β обозначает бета-функцию.
Связь с другими константами Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе :
В качестве альтернативы,
а поскольку и алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.
Константы лемнискаты Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.
Гаусс и другие используют.. эквивалент
которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций (знак носит название «помега» и является вариантом буквы π).
Число равно половине длины лемнискаты Бернулли .
Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа и называются константами лемнискаты, первая из которых
и вторая константа
Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. Теодор Шнайдер доказал трансцендентность и в 1937 и 1941 годах соответственно.
Другие формулы Формула, выражающая через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:
Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:
Константу также можно выразить бесконечным произведением
Эта константа появляется при оценке интегралов
Представление константы в виде непрерывной дроби:
().
Примечания
Источники
Категория:Числа с собственными именами Категория:Трансцендентные числа Категория:Математические константы Категория:Объекты, названные в честь Карла Фридриха Гаусса Категория:Бесконечные произведения