Тетраэдр называется правильным, если все его грани — равносторонние треугольники.
У правильного тетраэдра все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны.
Свойства правильного тетраэдра
Каждая его вершина является вершиной трех равносторонних треугольников. А значит, сумма плоских углов при каждой вершине будет равна . В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с серединными треугольниками четырёх граней тетраэдра, а все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра. Правильный тетраэдр с ребром состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) с ребром и четырёх тетраэдров (по вершинам) с ребром . Правильный тетраэдр можно вписать в куб, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба, а все шесть рёбер тетраэдра будут совмещены с диагоналями граней куба.
Объём правильного тетраэдра равен Площадь поверхности равна Радиус вписанной сферы равен Радиус описанной сферы равен Радиус полувписанной сферы равен Высота правильного тетраэдра равна = радиус вписанной сферы + радиус описанной сферы = Угол между двумя гранями равен
Интересные факты Точки в серединах граней правильного тетраэдра являются вершинами правильного тетраэдра.
Соотношения: рёбер и высот правильных тетраэдров, радиусов переписанных, описанных и писанных сфер соответственно равны ; площадей поверхности равно ; объёмов равно .
Примечания
Литература
Категория:Правильные многогранники Категория:Дельтаэдры