Инвариант Хопфа — гомотопический инвариант отображений между сферами определённых размерностей. Предложен Хайнцем Хопфом в 1931 году.
Определение
Пусть — непрерывное отображение (предположим ). Рассмотрим CW-комплекс
где есть -мерный диск, приклеенный к по отображению . Группы клеточных цепей равны в размерностях 0, и , а иначе нули.
Обозначим образующие групп когомологий через и По размерным соображениям все произведения между этими классами должны быть тривиальными, кроме возможно . Таким образом, кольцо когомологий задаётся следующим образом
Целое число и является инвариантом Хопфа отображения .
Свойства Отображение является гомоморфизмом. Более того, если чётно, то образ содержит .
Инвариант расслоений Хопфа равен , где , соответственно, соответствует вещественным алгебрам с делением и расслоению , направляющему направление на сферу в подпространство, которое она охватывает. Более того, с точностью до гомотопической эквивалентности это единственные отображения с единичным инвариантом Хопфа. Эта теорема была доказана сначала Фрэнком Адамсом, а затем Адамсом и Майклом Атией методами топологической K-теории.
Инвариант Хопфа гладкого отображения , равен индексу зацепления в прообразов двух регулярных значений в в .
Пусть — такая -форма на , что . Tогда её понятие точное, то есть для некоторой -формы на и следующий интеграл равен инварианту Хопфа отображения
Примечания
Литература
Математическая энциклопедия ХОПФА ИНВАРИАНТ
Категория:Теория гомотопий