Биномиальный ряд — это Ряд Тейлора для функции , заданной выражением где является произвольным комплексным числом, а |x| < 1. Ряд в явном виде,
и биномиальный ряд справа в формуле () является степенным рядом, выраженном в терминах (обобщённых) биномиальных коэффициентов
Специальные случаи Если является неотрицательным целым числом n, то -й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель , так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую формулу бинома Ньютона.
Следующие выражения верны для любого комплексного , но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле ():
Чтобы это доказать, подставим в выражение () и применим тождество для биномиальных коэффициентов
Сходимость
Условия сходимости Сходится ли ряд в формуле (), зависит значений комплексных чисел и . Точнее:
<ol style="list-style-type:lower-roman">
Если , ряд сходится абсолютно для любого комплексного .
Если ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо , либо , где означает вещественную часть .
Если и ряд сходится тогда и только тогда, когда .
Если ряд сходится тогда и только тогда, когда либо , либо .
Если ряд расходится, за исключением случая, когда — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).
В частности, если не является отрицательным целым числом, ситуация на границе круга сходимости приведена ниже:
Если ряд сходится абсолютно. Если ряд сходится условно, если , и расходится, если . Если ряд расходится.
Тождества, используемые в доказательстве Следующее выполняется для любого комплексного числа :
Если не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда больше ), имеет место следующее асимптотическое соотношение для биномиальных коэффициентов в терминах «o» малое:
Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для гамма-функции:
откуда немедленно следуют грубые границы
для некоторых положительных констант m и M.
Формула () для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как
Доказательство Для доказательства (i) и (v) применим признак Д’Аламбера и используем формулу () выше, чтобы показать, что когда не является неотрицательным целым, радиус сходимости в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы () путём сравнения с обобщённым гармоническим рядом
с . Для доказательства (iii) сначала используем формулу (), чтобы получить
а затем используем (ii) и снова формулу () для доказательства сходимости правой части, когда . С другой стороны, ряд не сходится, если and , снова по формуле (). Иначе можно заметить, что для всех , . Тогда, по формуле (), для всех . Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество () выше с и вместо , и используем формулу (), чтобы получить
при . Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности . (А именно, определённо сходится к , если и расходится к , если . Если , то и сходится тогда и только тогда, когда последовательность , что определённо выполняется, если , но неверно, если ).
Суммирование биномиальных рядов Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если продифференцировать почленно биномиальный ряд в круге сходимости и использовать формулу (), можно получить, что сумма ряда является аналитической функцией, решающей Обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным значением . Единственным решение этой задачи является функция , которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для . Равенство расширяется до , если ряд сходится, согласно следствию из теоремы Абеля и непрерывности .
История Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены Исааком Ньютоном при изучении площадей, ограниченных определёнными кривыми. Джон Валлис нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида , где m дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты при получаются путём умножения предыдущего коэффициента на (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения
Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется биномиальной теоремой Ньютона. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году Нильс Хенрик Абель обсуждал ряд в статье, опубликованной в журнале Крелле и рассмотрел важные вопросы сходимости.
См. также
Бином Ньютона
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Математический анализ Категория:Факториалы и биномиальные коэффициенты Категория:Ряды