Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение Уравнение потока Риччи имеет вид:

где обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра ), и  — её тензор Риччи.

Свойства Формально говоря, система уравнений , задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений , предложенная Детурком, такая, что если риманова метрика на компактном многообразии и ,  — решения систем и , то изометрично для всех . Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка». Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при , можно получить решения лишь в одну сторону по , а именно . В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при . Решение продолжается на максимальный интервал . В случае если конечно, при приближении к кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона. Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик Для объёма метрики верно соотношение

Для скалярной кривизны метрики верно соотношение

где определяется как для ортонормированного репера в точке. В частности, согласно принципу максимума, поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны. Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает. Для каждого -ортонормированного репера в точке существует так называемый сопутствующий -ортонормированный репер . Для тензора кривизны , записанного в этом базисе, верно соотношение

где  — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них. Билинейная квадратичная форма определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны приписывается другой тензор кривизны . Решения ОДУ

играют важную роль в теории потоков Риччи. Выпуклые множества в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ , то при , называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому , то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи. К инвариантным множествам относятся Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи

Размерность 3 В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого и можно подобрать репер , в котором диагонализуется в базисе , , , скажем,

Тогда

История Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x годов. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьяхСм. статьи Григория Перельмана в списке литературы., опубликованных в 2002-2003 годах, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.http://arxiv.org/pdf/math/0607607.pdf «This conjecture was formulated by Henri Poincaré in 1904 and has remained open until the recent work of Perelman. … Perelman’s arguments rest on a foundation built by Richard Hamilton with his study of the Ricci flow equation for Riemannian metrics.».

Примечания

Литература Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982. Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.

Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008. J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.

Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных