Компактификация Бора топологической группы G — это бикомпактная топологическая группа H, которая может быть канонически ассоциирована с группой G. Её важность состоит в сведении теории равномерно почти периодических функций на G к теории непрерывных отображений на H. Концепция названа именем датского математика Харальда Бора, который первым начал изучение почти периодических функций на вещественной прямой.
Определения и основные свойства Если задана топологическая группа G, компактификация Бора группы G — это бикомпактная топологическая группа и непрерывный гомоморфизм
который является универсальным по отношению к гомоморфизмам в бикомпактные группы. Это означает, что если K является другой бикомпактной топологической группой и
является непрерывным гомоморфизмом, то имеется единственный непрерывный гомоморфизм
такой что f = Bohr(f) ∘ b.
Теорема. Компактификация Бора существует и единственна с точностью до изоморфизма.
Обозначим компактификацию Бора группы G через а каноническое отображение через
Соответствие определяет ковариантный функтор на категории топологических групп и непрерывных гомоморфизмов.
Компактификация Бора тесно связана с теорией конечномерных топологических групп. Ядро группы b состоит в точности из тех элементов группы G, которые не могут быть отделены от тождественного элемента группы G конечномерным унитарным представлением.
Компактификация Бора сводит также многие проблемы теории почти периодических функций на топологических группах к проблемам функций на компактных группах.
Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на топологической группе G является однородно почти периодической тогда и только тогда, когда множество правых переносов , где
относительно компактно в равномерной топологии при изменении g в G.
Теорема. Ограниченная непрерывная комплекснозначная функция f на G равномерно почти периодична, если существует непрерывная функция на (единственно определённая), такая что
Максимально почти периодические группы Топологические группы, для которых отображение компактификации Бора инъективно, называются максимально почти периодическими (МПП группами). В случае, если G — локально компактная связная группа, а МПП группы полностью определены — это в точности произведение компактных групп на векторные группы конечной размерности.
См. также
Компактное пространство Компактификация Множество с отмеченной точкой Компактификация Стоуна — Чеха
Примечания
Литература
Категория:Топологические группы Категория:Гармонический анализ Категория:Компактификация