Ассоциированное семейство (или семейство Бонне) минимальной поверхности — однопараметрическое семейство минимальных поверхностей, которые разделяют данные Вейерштрасса.
Если поверхность имеет представление
семейство описывается формулой
При поверхность называется сопряжённой поверхности .
Преобразование можно рассматривать как локальное вращение направлений главной кривизны. Нормали поверхности точки с фиксированным остаются неизменными при изменении . Сама точка движется по эллипсу .
Некоторые примеры ассоциированных семейств поверхностей: семейства катеноидов и геликоидов, семейства Шварца P, Шварца D и гироидов, а также семейства первой и второй поверхностей Шерка. Поверхность Эннепера сопряжена с собой — она остаётся неизменной при изменении .
Сопряжённые поверхности имеют следующее свойство: любая прямая на поверхности отражается в планарную геодезическую линию на сопряжённой поверхности и наоборот. Если кусок поверхности ограничен прямой, то сопряжённый кусок ограничен плоской линией симметрии. Это полезно при построении минимальных поверхностей путём перехода в сопряжённое пространство: ограничение плоскостями эквивалентно ограничению многоугольником.
Имеются аналоги ассоциированным семействам минимальных поверхностей в пространствах более высокой размерности и для многообразий.
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Минимальные поверхности