Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.
Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности ещё в 1863 году.
Параметризация Пусть и будут функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где является мероморфной, а является голоморфной и пусть будут константами. При этом, что имеет полюс порядка , имеет нуль порядка (эквивалентно: является голоморфной функцией). Тогда поверхность с координатами является минимальной, где определяется как вещественная часть комплексного интеграла:
Более того, любая непланарная минимальная поверхность, параметризованная односвязной областью может быть параметризована таким образом.
Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию .
Параметрическая поверхность комплексных переменных Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность () на комплексной плоскости (). Пусть (комплексная плоскость как пространство ), матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:
Здесь и являются голоморфными функциями от .
Якобиан представляет два ортогональных касательных к поверхности вектора:
Нормаль к поверхности задаётся выражением:
Якобиан приводит к ряду важных свойств: , , ,
Доказательство можно найти в статье Шарма: Представление Вейерштрасса всегда даёт минимальную поверхность. Производные могут быть использованы для построения матрицы первой квадратичной формы :
и матрицы второй квадратичной формы
Наконец, точка на комплексной плоскости отображается в точку на минимальной поверхности в :
где для всех минимальных поверхностей, за исключением , где .
Вложенные минимальные поверхности и примеры Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в с конечной топологией включают плоскость, катеноид, геликоид и . Поверхность Коста вовлекает эллиптическую функцию Вейерштрасса :
Здесь является константой.
Геликатеноид Выбрав функции и , получим семейство минимальных поверхностей:
Выберем параметры поверхности :
В экстремальных точках поверхность является катеноидом или геликоидом . В остальном представляет угол совмещения. Результирующая поверхность, при выборе области определения во избежание самопересечений, представляет собой цепочку, вращающуюся вокруг оси по спирали.
Линии кривизны Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы в виде функций от и , например:
А следовательно, вторая фундаментальная форма может быть упрощена:
Одним из собственных векторов матрицы является:
он представляет главное направление в комплексной области. Поэтому двумя главными направлениями в пространстве оказываются:
См. также Ассоциированное семейство , для которой имеется аналогичная параметризация в гиперболическом пространстве
Примечания
Литература
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Категория:Минимальные поверхности