Ортогона́льная гру́ппа — группа всех линейных преобразований -мерного векторного пространства над полем , сохраняющих фиксированную невырожденную квадратичную форму на (то есть таких линейных преобразований , что для любого ).
Обозначения и связанные определения Элементы ортогональной группы называются ортогональными (относительно ) преобразованиями , а также автоморфизмами формы (точнее, автоморфизмами пространства относительно формы ). Обозначается , , и т. п. Когда квадратичная форма не указана явно, то подразумевается форма, задаваемая суммой квадратов координат, то есть выражающаяся единичной матрицей. Над полем действительных чисел, ортогональная группа незнакоопределённой формы с сигнатурой ( плюсов, минусов) где , обозначается , см. напр. O(1,3).
Свойства В случае, если характеристика основного поля не равна двум, то с связана невырожденная симметрическая билинейная форма на , определенная формулой
Тогда ортогональная группа состоит в точности из тех линейных преобразований пространства , которые сохраняют , и обозначается через или (когда ясно о каком поле и форме идёт речь) просто через . Если — матрица формы в неком базисе пространства , то ортогональная группа может быть отождествлена с группой всех таких матриц с коэффициентами в , что .
В частности, если базис таков, что является суммой квадратов координат (то есть матрица единична), то такие матрицы называются ортогональными. Над полем вещественных чисел, группа компактна тогда и только тогда, когда форма знакоопределена. В этом случае любой элемент из , для подходящего базиса представляется как блочно-диагональная матрица
где — 2х2 матрицы поворотов; теорема вращения Эйлера является частным случаем этого утверждения.
Другие группы Ортогональная группа является подгруппой полной линейной группы GL(). Элементы ортогональной группы, определитель которых равен 1 (это свойство не зависит от базиса), образуют подгруппу — специальную ортогональную группу , обозначаемую так же, как и ортогональная группа, но с добавлением буквы «S». , по построению, является также подгруппой специальной линейной группы .
См. также SO(8)
Примечания
Источники
Ссылки
Категория:Группы Ли