Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.
Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.
Формулировка Пусть на гладком замкнутом многообразии определено гладкое векторное поле , имеющее конечное число изолированных особых точек . Тогда
здесь — индекс точки относительно поля и число — эйлерова характеристика многообразия .
История Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году«Двумерный вариант этой теоремы было доказан Пуанкаре в 1885 г. Полностью теорема была доказана Хопфом в 1926 г., вслед за частичными результатами Брауэра и Адамара». // Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972 (стр. 223)..
Вариации и обобщения Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностямиJean-Paul Brasselet, José Seade, Tatsuo Suwa. Vector fields on Singular Varieties . Springer, 2009.Pavao Mardešić. Index of singularities of real vector fields on singular hypersurfaces . Journal of Singularities, vol 9 (2014), 111—121..
Примечания
Литература Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972. Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.
Категория:Дифференциальная геометрия и топология Пуанкаре о векторном поле