Теоре́ма (, от — рассуждаю) — математическое утверждение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Доказательства теорем опираются на ранее доказанные теоремы и общепризнанные утверждения (аксиомы).
Прокл Диадох в «Комментарии к I книге Начал Евклида» писал, что Зенодот отличает теорему от задачи: «теорема исследует, каков отличительный признак соответствующей ей материи, а задача — каково некое сущее».
Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведённого в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально дедуктивной, в отличие от понятия научного закона, который является экспериментальнымHowever, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii: «theorem (θεώρημα) from θεωρεῖν to investigate».
Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.
Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и чётко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.
Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является Великая теорема Ферма.
Словосочетание «теорема неверна» неприемлемо, поскольку теорема (той или иной теории) — предложение, имеющее доказательство (в этой теории). Вместо этого употребительнее говорить и писать: «Верно ли это предложение?» или «Является ли теоремой данное предложение?».
Формулировка, структура и классификация теорем
Виды формулировок Теорема может быть сформирована как в категоричной, так и в условной форме.
Примеры теорем, сформулированные в категоричной форме:
«Вертикальные углы равны»; «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме»; «Логарифм произведения по некоторому основанию равен сумме логарифмов сомножителей по тому же основанию».
Например, «Вертикальные углы равны» — это категоричная формулировка теоремы, а «Если углы являются вертикальными, то они равны» — соответственно условная.
Структура теоремы Формулировка всякой теоремы содержит три части: Разъяснительная часть — та часть теоремы, в котором указывается, какие значения принимают переменные (множество, на котором рассматривается теорема); Условие — посылка в теореме, сформулированной в условной форме: то есть те положения, при которых заключение имеет место; Требование (или заключение) — что собственно необходимо доказать, или что об объекте утверждается.
Классификация теорем По числу условий (либо заключений):
простая теорема — теорема, содержащая лишь одно условие и заключение; сложная теорема — теорема, содержащая несколько условий или заключений.
По форме:
теорема сформулирована в условной форме; теорема сформулирована в категорической (безусловной) форме; теорема сформулирована в критериальной формеЕсли теорему можно сформулировать, используя слова: «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда, когда», «в том и только в том случае, если», «если и только если», то такую теорему называют критерием.; По логике построения предложения:
Данная теорема; Обратная теорема; Противоположная теорема; КонтрапозитивнаяЭто предложение также называют обратным к противоположному (обратно-противоположным), или противоположным к обратному (противоположно-обратным) для данного предложения. теорема. По типу формулировки математического утверждения (теоремы и аксиомы):
теорема о существования; теорема существования и единственности.
Неформальное изложение теорем С точки зрения логики, многие теоремы имеют форму условного обозначения : если A, то B. Такая теорема утверждает не истинность B, а только то, что B является необходимым следствием A. В этом случае A называется логической гипотезой теоремы, а B — выводом (формально A и B называются предшествующим и последующим утверждениями). Следует подчеркнуть, что логическая гипотеза и математическая гипотеза — суть разные понятия. Так, утверждение «Если n — чётное натуральное число, то n / 2 — натуральное число» — пример теоремы, в которой гипотезой является утверждение «n — чётное натуральное число», а утверждение «n / 2 — также натуральное число» является выводом.
Для доказательства теорема должна быть выражена в виде точного формального утверждения. Тем не менее, для удобства читателя теоремы обычно выражаются не в полностью символической форме, а на естественном языке. Читатель же самостоятельно преобразует неформальное утверждение в формальное.
В математике часто выбирают несколько гипотез и создают теорию, которая состоит из всех утверждений, логически вытекающих из этих гипотез. Гипотезы, которые составляют основу теории, называются аксиомами или постулатами. Область математики, изучающая формальные языки, аксиомы и структуру доказательств, называется теорией доказательств.
Некоторые теоремы «тривиальны» в том смысле, что они очевидным образом следуют из определений, аксиом и других теорем и не содержат никаких удивительных идей. С другой стороны, некоторые теоремы могут быть названы «глубокими», потому что их доказательства могут быть длинными и трудными, включать области математики, внешне отличные от формулировки самой теоремы, или демонстрировать удивительные связи между различными областями математики. Теорема может быть простой в изложении и в то же время глубокой. Прекрасным примером глубокой теоремы является Великая теорема Ферма. В теории чисел и в комбинаторике, а также в других областях математики имеется множество примеров простых в изложении, но глубоких теорем.
С другой стороны, есть теоремы, имеющие доказательство, которое невозможно записать в простом виде. Наиболее яркими примерами таких теорем являются теорема о четырёх цветах и гипотеза Кеплера. Обе эти теоремы известны тем, что они сводятся к определённому алгоритму, который затем проверяется компьютерной программой. Первоначально многие математики не принимали эту форму доказательства, но сейчас она стала разрешённой. Математик Дорон Цейлбергер даже утверждает, что это, пожалуй, единственные нетривиальные результаты, которые когда-либо были доказаны математиками. Многие математические теоремы могут быть сведены к более простым вычислениям, включая полиномиальные тождества, тригонометрические тождества и гипергеометрические тождестваПетковсек и соавт. 1996..
Обеспечиваемость и теорема Чтобы установить математическое утверждение в качестве теоремы, требуется доказательство, то есть должна быть продемонстрирована линия рассуждений от аксиом в системе (и других уже установленных теорем) к данному утверждению. Однако доказательство обычно рассматривается отдельно от утверждения теоремы. Хотя для одной теоремы может быть известно более одного доказательства, для установления статуса утверждения как теоремы требуется только одно доказательство. Теорема Пифагора и закон квадратичной взаимности являются претендентами на название теоремы с наибольшим количеством различных доказательств.
Связь с научными теориями Теоремы в математике и теории в науке принципиально отличаются по своей эпистемологии . Научная теория не может быть доказана; её ключевой атрибут заключается в том, что она фальсифицируется, то есть он делает предсказания о мире природы, которые можно проверить экспериментально. Любое несоответствие между предсказанием и экспериментом демонстрирует неверность научной теории или, по крайней мере, ограничивает её точность или область действия. Математические теоремы, с другой стороны, являются чисто абстрактными формальными утверждениями: доказательство теоремы не может включать эксперименты или другие эмпирические доказательства так же, как эти доказательства используются для поддержки научных теорий.
Тем не менее, существует определённая степень эмпиризма и сбора данных, связанных с открытием математических теорем. Устанавливая модель, иногда с использованием мощного компьютера, математики могут иметь представление о том, что доказывать, а в некоторых случаях даже о том, как приступить к выполнению доказательства. Например, гипотеза Коллатца была проверена для начальных значений примерно до 2,88 × 10 18 . Гипотеза Римана была проверена для первых 10 триллионов нулей дзета-функции . Ни одно из этих утверждений не считается доказанным.
Такие свидетельства не являются доказательством. Например, гипотеза Мертенса — это некоторое неверное утверждение о натуральных числах, однако явный контпример неизвестен. Известно только, что наименьший контрпример не меньше 10 14 и не больше 104,3 × 1039. Найти явный контрпример с помощью полного перебора невозможно, однако известно, что он существует.
Слово «теория» также существует в математике для обозначения совокупности математических аксиом, определений и теорем, как, например, теория групп. Есть также «теоремы» в науке, особенно в физике, и в технике, но они часто имеют утверждения и доказательства, в которых физические предположения и интуиция играют важную роль; физические аксиомы, на которых основаны такие «теоремы», сами по себе фальсифицируемы.
Терминология Существует ряд различных терминов для математических утверждений; эти термины указывают на роль, которую заявления играют в конкретной теме. Несоответствие между различными терминами иногда довольно произвольно, и со временем некоторые термины стали использоваться чаще других.
Аксиома или постулат — это утверждение, которое принимается без доказательств и считается фундаментальным для субъекта. Исторически аксиомы считались «само собой разумеющимися», но в последнее время они считаются предположениями, которые характеризуют предмет исследования. В классической геометрии аксиомы являются общими утверждениями, а постулаты — утверждениями о свойствах геометрических объектов. Определение также принимается без доказательств, поскольку оно просто даёт значение слова или фразы в терминах известных понятий.