Группа крашеных кос (или группа чистых кос, от ) — группа, образованная для заданного всеми крашеными косами из нитей относительно операции произведения кос. Является подгруппой группы кос и обозначается символом .
Определение Как и группа кос, группа крашеных кос допускает ряд различных воплощений, которые приводят к изоморфным группам. Ниже представлены основные такие воплощения, рассматриваемые в литературе.
Геометрические косы
Классическое определение группы крашеных кос основано на их умножении. Произведение двух крашеных кос и с одинаковым числом нитей является крашеной косой, тривиальная коса является крашеной, а обратная коса к крашеной является крашеной. В связи с этим множество всех крашеных кос из нитей, рассматриваемое вместе с операцией умножения, является группой, которая называется группой крашеных кос.
Траектории движения точек на плоскости
Группа крашеных кос изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства упорядоченных наборов различных точек евклидовой плоскости:
.
Автоморфизмы свободной группы
Группа крашеных кос изоморфна группе крашеных сплетающих автоморфизмов свободной группы.
Автогомеоморфизмы проколотого диска Группа крашеных кос изоморфна крашеной группе классов отображений замкнутого диска с проколами:
.
Задание образующими и соотношениями
Группа крашеных кос является конечно представленной. Простейшее её задание выглядит следующим образом.
Для таких и , что , пусть
.
Данные кос порождают группу крашеных кос . Они называются стандартными образующими или образующими Маркова.
В этих образующих группа крашеных кос может быть задана следующими соотношениями:
где — коммутатор элементов и .
Причёсанная нормальная форма
Представление крашеной косы в виде
называется её причёсанным видом, если каждая коса имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме -ой, являются прямыми, а -ая зацепляется только за нити с меньшими номерами.
Запись косы , в которой каждая коса представлена в виде в образующих , называется её причёсанной нормальной формой:
См. также Группа кос Теория кос
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Теория кос