Кривая Циндлера — простая замкнутая плоская кривая, у которой все хорды, делящие её длину пополам, имеют равные длины. Эквивалентное определение — простая замкнутая плоская кривая, все хорды которой, делящие ограниченную ей площадь фигуры пополам, имеют равные длины. Простейший пример такой кривой — окружность.
Впервые в такой общности исследованы австрийским математиком ; дальнейшие результаты получил Герман Ауэрбах в 1938 году, он же впервые назвал класс кривых именем Циндлера. В частности Ауэрбах доказал, что объект, ограниченный кривой Циндлера, обладающий половиной плотности воды, будет плавать в воде в любом положении. Это даёт отрицательный ответ на двумерную версию задачи Станислава Улама о плавающих телах (задача 19 из Шотландской книги), в которой задаётся вопрос, является ли диск единственной фигурой однородной плотности, которая будет плавать в воде в любом положенииВ исходной задаче спрашивается, является ли сфера единственным твёрдым телом, обладающим тем же свойством в трёхмерном пространстве..
Кривые Циндлера также связаны с задачей о том, возможно ли определить направление движения велосипеда, учитывая только замкнутые заднюю и переднюю колеи.
Пример — любая из кривых с вещественным параметром :
является кривой ЦиндлераW. Wunderlich: Algebraische Beispiele ebener und räumlicher Zindler-Kurven. Publ. Math. Debrecen 24 (1977), 289—297.(S. 291).. При такая кривая выпукла. Для эти кривые имеют отношение к кривым постоянной ширины.
Примечания
Ссылки Herman Auerbach: Sur un problème de M. Ulam concernant l’équilibre des corps flottants (PDF; 796 kB), Studia Mathematica 7 (1938), 121—142. K. L. Mampel: Über Zindlerkurven, Journal für reine und angewandte Mathematik 234 (1969), 12-44. Konrad Zindler: Über konvexe Gebilde. II. Teil, Monatshefte für Mathematik und Physik 31 (1921), 25-56. H. Martini, S. Wu: On Zindler Curves in Normed Planes, Canadian Mathematical Bulletin 55 (2012), 767—773. J. Bracho, L. Montejano, D. Oliveros: Carousels, Zindler curves and the floating body problem, Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 9-23. P. M. Gruber, J.M. Wills: Convexity and Its Applications, Springer, 1983, , p. 58.
Категория:Кривые