В стереометрии грань — это плоская поверхность (плоская область, например — многоугольник или круг), которая образует часть границы твердого объекта; трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник.
В технических трактовках геометрии многогранников и политопов более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего политопа (в любом количестве измерений).
Многоугольник (грань) В элементарной геометрии грань — это многоугольник на границе многогранника. Другие названия многоугольной грани включают сторону многогранника и евклидову плоскую плитку.
Например, любой из шести квадратов, ограничивающих куб, является гранью куба. Иногда «грань» также используется для обозначения двумерных особенностей четырёхмерного многогранника. В этом смысле тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет два из 8 кубов, образующих тессеракт.+Стандартные примеры по символу Шлефли Многогранник Звездный многогранник Евклидова мозаика Гиперболическая мозаика 4-многогранник {4,3} {5/2,5} {4,4} {4,5} {4,3,3} Куб имеет 3 квадратных грани у каждой вершины. Малый звездчатый додекаэдр имеет 5 пентаграммных граней у каждой вершины. Квадратная мозаика на евклидовой плоскости имеет 4 квадратных грани на каждую вершину. Квадратная мозаика пятого порядка имеет 5 квадратных граней на вершину. Тессеракт имеет 3 квадратных грани у каждого ребра.
Количество многоугольных граней многогранника Поверхность любого выпуклого многогранника имеет эйлерову характеристику
где V — количество вершин, E — количество ребер, а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера. Таким образом, количество граней на 2 больше, чем разность количества ребер и количества вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
k-мерная грань В многомерной геометрии грани политопа являются элементами всех измерений. Грань размерности k называется k-мерной гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-мерными гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество, где пустое множество для согласованности имеет «размерность» −1. Для любого политопа (n-мерного многогранника), −1 ≤ k ≤ n.
Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб(3-мерная грань), его (квадратные) грани, (линейные) ребра (1-мерные грани), (точечные) вершины (0-мерные грани) и пустое множество. Ниже приведены грани 4-мерного многогранника:
4-мерная грань — сам 4-мерный многогранник 3-мерные грани — 3-мерные ячейки (многогранники) 2-мерные грани — 2-мерные ребра (многоугольники) 1-мерные грани — 1-мерные ребра 0-мерные грани — 0-мерные вершины пустое множество, имеющее размерность −1
В некоторых областях математики, таких как комбинаторика многогранников, многогранник по определению выпуклый. Формально грань многогранника P есть пересечение P с любым замкнутым полупространством, граница которого не пересекается с внутренней частью P and use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting P with either a hyperplane disjoint from the interior of P or the whole space.. Из этого определения следует, что множество граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустое множество.
В других областях математики, таких как теории абстрактных многогранников и звездчатых многогранников, требование выпуклости ослаблено. Абстрактная теория по-прежнему требует, чтобы множество граней включало в себя сам политоп и пустое множество.
Ячейка или трехмерная грань Ячейка — это многогранный элемент (трехмерная грань) 4-мерного многогранника или 3-мерной мозаики или фигуры более высокой размерности. Ячейки являются гранями для четырёхмерных политопов и трехмерных мозаик. +Стандартные примеры по символу Шлефли четырёхмерные политопы 3-мерные мозаики {4,3,3} {5,3,3} {4,3,4} {5,3,4} Тессеракт имеет 3 кубические ячейки на ребро. 120-ячейник имеет 3 додекаэдрические ячейки на ребро. Кубическая мозаика заполняет евклидово 3-мерное пространство кубами с 4 ячейками на каждом ребре. Додекаэдрические соты 4 порядка заполняют трехмерное гиперболическое пространство додекаэдрами, по 4 ячейки на ребро.
Фасета или (n − 1)-мерная грань В многомерной геометрии Фасетами (также называемыми гипергранями)N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225 n-мерного политопа являются (n −1)-грани (грани размерности на единицу меньше, чем сам многогранник), p. 87; , p. 27; , p. 17.. Многогранник ограничен своими гранями.
Например:
Фасетами отрезка являются его 0-мерные грани — вершины. Фасетами многоугольника являются его 1-мерные грани или ребра. Фасеты многогранника или мозаики плоскости являются их 2-мерные грани. Грани четырехмерного многогранника или трехмерной мозаики являются их 3-мерными гранями или ячейками. Гранями пятимерного многогранника или 4-мерной мозаики являются их 4-мерные грани.
Комментарии
Примечания
Категория:Многогранники Категория:Выпуклая геометрия Категория:Элементарная геометрия