Гипотеза Ме́ртенса — отвергнутая математическая гипотеза, согласно которой функция Мертенса ограничена . Выдвинута Стилтьесом в 1885 году в письме Эрмиту, независимо предложена в 1897 году. Особый интерес к гипотезе был связан с тем, что из её выполнения следует верность гипотезы Римана.
Несмотря на большое количество интуитивных подтверждений и вычислительных предпосылок, гипотеза была опровергнута в 1985 году и .
История Стилтьес утверждал в 1885 году, что доказал более слабое утверждение: ограничена, но не опубликовал доказательство. (В терминах предположение Мертенса означало, что .)
Одлыжко и те Риле для доказательства ложности гипотезы в 1983 году использовали алгоритм Ленстры — Ленстры — ЛовасаSandor et al (2006) pp. 188—189, получив: и . Позже было доказано, что первый контрпример встречается до , но после 1016. С тех пор верхняя граница была понижена до Kotnik and Te Riele (2006) или приблизительно , при этом точный контрпример по состоянию неизвестен.
Закон повторного логарифма утверждает, что если функцию Мёбиуса в определении функции Мертенса заменить случайной последовательностью из +1 и −1, тогда порядок роста частичных сумм первых чисел (с вероятностью 1) составляет около , из чего можно полагать порядок роста приблизительно равным . Истинный порядок роста может быть несколько меньше: в начале 1990-х годов предположено, что порядок роста равен , что нашло в 2004 году также эвристические подтверждения (основанные на выполнении гипотезы Римана и некоторых предположениях об усреднённом поведении нулей -функции Римана).
В 1979 годуCohen, H. and Dress, F. 1979. «Calcul numérique de Mx)» 11-13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I’ATP A12311 Informatique 1975 найдено наибольшее известное значение для , а в 2011 году вычислено наибольшее известное отрицательное значение для . В 2016 году вычислены для каждого , но бо́льшие значения не найдены.
В 2006 году улучшена верхняя граница и показано, что существует бесконечно много значений , для которых , но без нахождения особых значений для таких Kotnik & te Riele (2006).. В 2016 году установлено, что: и .
Связь с гипотезой Римана Связь с гипотезой Римана основана на рядах Дирихле для функции, обратной римановой дзета-функции:
в области . Ряд может быть переписан как интеграл Стилтьеса: , что после интегрирования по частям даёт функцию, обратную дзета-функции — преобразование Меллина:
.
Используя , выражается через как: ,
что верно для , и верно для согласно гипотезе Римана. Из этого следует, что интеграл в преобразовании Меллина должен быть сходящимся, и потому функция должна иметь порядок роста для каждой степени экспоненты , большей, чем . Таким образом:
для всех положительных эквивалентно гипотезе Римана, что следовало бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что: .
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Аналитическая теория чисел Категория:Опровергнутые математические гипотезы