Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точный метод решения неизвестен или трудоёмок.
Постановка задачи Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:
или
Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Градиентные методы.
Численные методы решения уравнений Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен, и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципе сжимающего отображения. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.
Сжимающее отображение Определим терминологию:
Говорят, что функция осуществляет сжимающее отображение на , если
Тогда справедлива следующая основная теорема:
Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений) Если — сжимающее отображение на , то: Уравнение имеет единственный корень в ; Итерационная последовательность сходится к этому корню; Для очередного члена справедливо .
Из последнего пункта теоремы вытекает, что скорость сходимости любого метода на основе сжимающих отображений не менее линейной.
Поясним смысл параметра для случая одной переменной. Согласно теореме Лагранжа имеем:
Отсюда следует, что . Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы
Общий алгоритм последовательных приближений Уравнение преобразуется к уравнению с тем же корнем вида , где — сжимающее отображение. Задаётся начальное приближение и точность Вычисляется очередная итерация Если , то и возврат к шагу 3. Иначе и остановка.
Применительно к общему случаю операторных уравнений этот метод называется методом последовательных приближений, или методом простой итерации. Однако уравнение можно преобразовывать к сжимающему отображению , имеющему тот же корень, разными способами. Это порождает ряд частных методов, имеющих как линейную, так и более высокие скорости сходимости.
Применительно к СЛАУ Рассмотрим систему:
Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:
Метод будет сходится с линейной скоростью, если
Двойные вертикальные черты означают некоторую норму матрицы.
Метод Ньютона (метод касательных)
Одномерный случай Оптимизация преобразования исходного уравнения в сжимающее отображение позволяет получить метод с квадратичной скоростью сходимости.
Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации выполнялось . Будем искать решение данного уравнения в виде , тогда:
Воспользуемся тем, что , и получим окончательную формулу для :
С учётом этого сжимающая функция примет вид:
Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерационной процедуре вычисления:
Многомерный случай Обобщим полученный результат на многомерный случай.
Выбирая некоторое начальное приближение , находят последовательные приближения путём решения систем уравнений:
,
где .
См. также
Метод Крамера Метод QR-разложения Метод сингулярного разложения Метод Зейделя Градиентные методы Метод секущих Метод Мюллера Обратная параболическая интерполяция Метод итерации
Литература
Ссылки Численное решение уравнений онлайн
Решение уравнений