Ноль (0, нуль от — никакой) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль.
Большой толковый словарь Кузнецова (2009)Большой толковый словарь русского языка. Гл. ред. С. А. Кузнецов. Первое издание: СПб.: Норинт, 1998. приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).
Ноль играет исключительно важную роль в математике и физикеСамая важная цифра есть нуль. Это была гениальная идея — сделать нечто из ничего, дать этому нечто имя и изобрести для него символ..
Ноль в математике
Цифра «ноль» в математике Цифра «ноль» — математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. В настоящее время эта цифра почти всегда обозначается «0» (по индо-арабской записи цифр). Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (например, в десятичной системе счисления, умножает на десять). Сравните, например, числа 410 и 4010; 416 и 4016 (нижний индекс означает основание системы счисления). Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи
С цифрой 0 связаны особенно простые признаки делимости целых чисел.
В десятичной системе счисления: Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на цифру 0. Число делится на 100 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на две цифры 0. Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 1000, 10000 и т. д.
Признаки делимости, связанные с цифрой 0, в десятичной системе особенно легко комбинируются с признаками делимости на 2 и на 5, например: Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная. Число делится на 50 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — 0 или 5. Аналогичные признаки делимости имеются для чисел 200, 500, 2000, 5000 и т. д.
Признаки делимости, связанные с цифрой «0», в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления с основанием число делится на , если оно оканчивается на нулей.
Число «ноль» в математике
Принадлежность к натуральным числам Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам, Extract of pages 254—255 , другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом . Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения: — натуральные числа, включая ноль: . — натуральные числа без нуля: . Такие же, как в ISO, обозначения для множества натуральных чисел закреплены в российском ГОСТ 2011 года: Р 54521-2011, таблица 6.1. Тем не менее в русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например,
Основные свойства нуля 0 — целое число. На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.
Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: . Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: , , однако это не числа в обычном смысле. Любое число при сложении с нулём не меняется: При вычитании нуля из любого числа получается то же число: . Умножение любого числа на ноль даёт ноль:
При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль: при
Деление на ноль Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел. В самом деле, если обозначить , то по определению деления формально должно быть , в то время как выражение , при любом , равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле. Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.
Значения отдельных функций Факториал нуля по соглашению принят равным единице: . При таком соглашении тождество будет верно и при Результат возведения нуля в любую положительную степень равен нулю: при . Возведение нуля в любую отрицательную степень не имеет смысла. Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: . Одни авторы считают выражение (ноль в нулевой степени) неопределённым (лишённым смысла)Что такое степень числа // Школьная математика, интернет-ресурс.Почему число в степени 0 равно 1? // Науколандия, интернет-ресурс.Степенная функция // Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978., другие принимают . Связано это с тем, что функция двух переменных в точке имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю.</small> В то же время, функция одной переменной имеет в точке устранимый разрыв (она равна единице во всех остальных точках) и может быть доопределена по непрерывности. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.
Ноль в геометрии Точку можно рассматривать как нульмерный объект. Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси (с нулевой абсциссой — на оси ординат; с нулевой ординатой — на оси абсцисс). Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат. Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости, с двумя — на координатной оси. Точка трёхмерного пространства тоже называется началом координат, если все её координаты нулевые. Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности. На окружности расположения 0° и 360° совпадают.
Ноль в математическом анализе При вычислении предела отношения , где и , возникает такая ситуация, что непосредственная подстановка даёт выражение , значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: , , , .
Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины: Правый предел: _ или _ . Левый предел: _ или _ .
Обобщения (ноль в общей алгебре) Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)
Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера является нулевым элементом кольца квадратных матриц . Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, .
Ноль в информатике и вычислительной технике
Цифра «ноль» в информатике и вычислительной технике Подавляющее большинство компьютеров опираются на двоичную систему, то есть их память содержит только нули и единицы. Нечисловые данные используют стандартную кодировку — например, логические понятия ИСТИНА и ЛОЖЬ обычно кодируются как 1 и 0 соответственно, а для текстовых данных разных языков разработана универсальная кодировка Юникод.
При работе с компьютером из-за опасности спутать цифру с латинской или русской буквой , что может вызвать серьёзные последствия, одно время действовала рекомендация — С. 13—14, 19. : . Иногда поступали наоборот: при программировании на ЭВМ «Минск-32» перечёркивали букву , а не нуль. Знакогенераторы многих текстовых терминалов, видеоадаптеров и матричных принтеров при работе в текстовом режиме также выводят нуль в перечёркнутом виде (некоторые принтеры имели встроенные переключатели для включения и отключения режима перечёркивания нуля) — С. 17, 113—114. — С. 13, 80—81.. На дисплеях IBM 3270 цифра 0 изображалась с точкой в центре. Визуальное различие цифры от буквы остаётся важным требованием к моноширинным шрифтам. В пропорциональных шрифтах буква заметно шире нуля, так что перечёркивание обычно не требуется.
Перечёркнутый ноль не имеет отдельного символа Юникода; он может быть получен как символ U + 0030, сразу за которым идёт U + FE00, однако результат зависит как от текущего шрифта, так и от браузера. Иногда взамен используются сходные по виду значки скандинавской буквы (Ø), пустого множества (∅) или диаметра (⌀). Некоторые шрифты OpenType включают специальную опцию перечёркивания нуля, для чего в CSS имеется специальная опция font-feature-settings: zero.
Число «ноль» в информатике и вычислительной технике В компьютерах существует понятие «машинного нуля» — это число с плавающей запятой и таким отрицательным порядком, которое воспринимается компьютером как ноль.
Ещё одна особенность представления данных в информатике: во многих языках программирования элементы массива данных нумеруются не с привычной единицы, а с нуля, так что описание real M(n) означает массив Платформа Microsoft .NET Framework закрепила этот стандарт и даже перевела на него Visual Basic, который изначально использовал нумерацию с единицы.
В SQL-базах данных поле может иметь специальное значение NULL, которое означает не ноль, а неопределённое значение. Любое выражение, в котором участвует NULL, дает в результате NULL.
В математике ; то есть представляют одно и то же число, не существуют отдельные положительный и отрицательный нули. Однако в некоторых компьютерных форматах (например, в стандарте IEEE 754 или в прямом и обратном коде) для нуля имеются два различных представления: положительное (с положительным знаком) и отрицательное; см. подробнее −0 (программирование). На результаты вычислений, впрочем, эти различия не влияют. Десятичноепредставление Двоичное представление (8 бит) прямой обратный дополнительный +0 0000 0000 0000 0000 0000 0000 -0 1000 0000 1111 1111
История использования нуля
История цифры 0 Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.
Древний Восток Вавилонские математики использовали для индикации шестидесятеричного нуля вначале пропуск, а затем — особый клинописный значок «двойной клин»; предполагается, что последний значок вавилоняне использовали начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не имел самостоятельного значения и воспринимался не как цифра, а как отсутствие цифры; более того, он никогда не ставился в конце записи числа, так что, скажем, числа 2 и 120 (2×60) приходилось различать по контексту.