Расширение Оре — особый тип расширения кольца, свойства которого относительно хорошо изучены. Названо в честь Ойстина Оре.
Определение Пусть — алгебра без делителей нуля, — свободный (левый) R-модуль, состоящий из всех многочленов вида , где , степени , — мономорфизм из в себя и — некоторое -дифференцирование на . Существует единственная структура алгебры на , т.ч. естественное включение является гомоморфизмом и выполняется соотношение для всех .
Определённая таким образом алгебра называется расширением Оре, ассоциированным с тройкой , и обозначается .
Конструкция Пусть — алгебра, состоящая из всех бесконечных матриц с элементами в алгебре , т.ч. в каждом столбце и в каждой строке этих матриц лишь конечное число элементов отличны от нуля. Единицей в является диагональная матрица с тождественными операторами на диагонали. Пусть — оператор левого умножения на . Тогда на и наложены следующие условия:
. Рассмотрим бесконечную матрицу
.
Она позволяет определить инъективное линейное отображение по формуле . Пусть — подалгебра в , порождённая элементами и (). Она является образом при отображении . Поскольку является мономорфизмом, то оно индуцирует линейный изоморфизм между и , позволяющий индуцировать структуру алгебры на .
Литература
Категория:Теория колец