«Принципы исчисления бесконечно малых» — книга Рене Генона, опубликованная в 1946 году, в которой он противопоставляет так называемые «священные науки» (науки, основанные на трансцендентных принципах) и так называемые «мирские науки» (науки, ориентированные только на материальные приложения). В данной книге в качестве примера рассматривается исчисление бесконечно малых.

Книга является результатом диссертации Генона по философии науки, которую он представил профессору в 1916 году, сосредоточившись на работах Лейбница по математике.

Цель книги

Цель книги состояла в том, чтобы показать, как можно связать науку, в данном случае математику, а именно исчисление бесконечно малых, с трансцендентными принципами, сделав математику опорой для духовного созерцания и подчеркнуть различие между «наукой священной» и тем, что Генон считал «наукой профанной». Генон декларировал, что современная наука и промышленность несовместимы с традиционным миром, что точки зрения «мирской науки» и «науки священной» несовместимы и даже противоречат друг другу. Согласно Генону «священная наука» не отрицает относительную истинность физики, химии, астрономии и т. д. и относительную ценность рационального описания различных явлений, но рассматривает эти явления в зависимости от их трансцендентной причины.

Генон подчёркивает неправильность, по его мнению, того, что «мирская наука»:

считает себя вполне самостоятельной, претендующей на обоснованность при отсутствии каких-либо внешних по отношению к себе отсылок отрицает всё, что находится за пределами материального плана, и отрицает область сверхразумного или считает его непознаваемым.

Сверхрациональное для Генона относится не к иррациональному, а к тому, что выходит за пределы разума. Генон отмечает парадокс людей, гордящихся своим агностицизмом, что равнозначно кичиться своим невежеством (агностик означает этимологически невежественный). «Светская наука», по его мнению, целиком ориентирована на практические приложения, особенно промышленные. Генон утверждает, что отрезая от себя принцип трансцендентности, наука становится «безумной наукой», замыкаясь в мире перемен без какой-либо фиксированной точки и производя «машины», в частности оружие, все более неуправляемое. Он предсказал неизбежное появление продуктов науки, которые могут уничтожить целый континент . Генон описывает «светскую науку» как невежественное знание, добровольно располагающее себя на низшей ступени реальности. Он не отрицает практической эффективности современной науки, но утверждает, что проверка фактами не говорит об истинности теории, потому что всегда можно найти несколько теорий, с помощью которых факты могут быть одинаково хорошо объяснены, поэтому можно только исключить определённые гипотезы, но никогда не прийти к достоверности.

Математическая символика играет важную роль в творчестве Генона. Его отец был архитектором, и сам Генон учился в подготовительном классе по элементарной математике. В этот период у него преподавал Альберт Леклер в качестве профессора философии, оказавший, по словам Жан-Пьера Лорана, определённое влияние на Генона, в частности, на его концепции математики. В книге «Принципы исчисления бесконечно малых» Генон сосредоточился на работах Лейбница по математике, считая, что эти работы находились на переходе от «священной науки» к «профанной науке», так как, согласно Генону, Лейбниц обладал знаниями в области схоластики и получил знания от розенкрейцеров.

Сакральный символизм и современный конвенционализм в математике Генон сосредотачивается на математическом понятии предела, центральном понятии исчисления бесконечно малых как для дифференциального исчисления, так и для интегрального исчисления, а также на понятии бесконечно малая, введенном Лейбницем.

Генон показывает, как много математических понятий отрезаны от своего символического значения и от своей связи с трансцендентным измерением, что привело к обобщенному конвенционализму, который ведёт к многочисленным практическим приложениям, но ценой потери смысла. Генон опирается на введенный им самим смысл понятия «Бесконечность», описанный в его работе «Множественные состояния бытия», подчеркивая, что истинная «Бесконечность» не имеет частей и не имеет общей меры с конечным. По его мнению, то, что в математике обозначается термином бесконечное, есть как раз лишь расширение конечного настолько, насколько мы можем его себе представить. И предела невозможно достичь исходя именно из этого определения. Конечное в метафизике— синоним ограниченного, следовательно из конечного может возникнуть только неопределенное. «Бесконечность Генона» не имеет общей меры с конечным и лишено всякого предела . Генон отмечает, что математический символ, обозначающий бесконечность, , является, кроме того, замкнутой фигурой и, следовательно, явно конечной.

Согласно Генону закон образования чисел (множество натуральных целых чисел, за исключением 0) ряда: 1, 2, 3, …, , …основывается на добавлении единицы к каждому члену ряда, следовательно речь идет о чём-то ясно определённом . Этот ряд неопределенный в том смысле, что к любому числу всегда можно будет добавить единицу. Неопределенное всегда предполагает известное определение, идет ли речь о протяженности, длительности, делимости или о какой-либо другой возможности. Неопределенный (то есть «математическая бесконечность») по-прежнему конечный и может быть только конечным . Генон берёт в качестве другого примера распространенное смешение вечности, которая соответствует времени, продолжающемуся бесконечно, и вечности, которая соответствует преодолению временного состояния. Его «Бесконечность» подразумевает отсутствие какого-либо предела и, следовательно, нет ничего, к чему можно было бы стремиться . В частности, ряд чисел, 1, 2, 3, …, , …, не стремится к бесконечности, а неограниченно растет .

Арифметика когда-то была священной наукой, и Генон утверждает, что современные люди стали игнорировать понятие числа, не только в его символическом смысле, как его понимают в пифагореизме или каббале, но также и в его просто количественном понимании, заменив номер на номер, который является только «одеждой» числа. То есть появление конвенционализма обусловило появление всевозможных терминов и символов, отделённых от любого реального значения. Генон приводит несколько примеров:

отрицательные числа, которые не являются числами, потому что нет числа «меньше ноля». Это всего лишь результат невозможных вычитаний. Это интерпретация того случая, когда измеряемая величина, вероятно, будет отсчитываться в двух противоположных направлениях, например, при измерениях на линии, разделенной на две полу-линии: справа расстояния считаются положительными, слева отрицательными, но это только условность. «дробные или рациональные числа», , в противопоставлении иррациональным числам ( или ) . Генон напоминает, что эти величины введены только потому, что число 1 было выбрано по причинам, не связанным с арифметикой, в качестве единицы длины линии, например, для того, чтобы можно было измерить все другие длины по отношению к ней. Но непрерывные величины делятся до бесконечности, что требует введения этих дробных чисел и даже иррациональных чисел, потому что множества рациональных чисел недостаточно, чтобы заполнить промежутки между точками, содержащимися в линии . мнимые числа могут быть очень полезными для практических целей и даже поддаются геометрическому представлению, но соответствуют только невозможным арифметическим операциям: квадратные корни отрицательных чисел .

В священной арифметике каждое число имеет символическое значение. Генон подробно описал символику числа три в книге «Великая триада». Генон напоминает значение символа числа один, как дающего начало всем остальным числам в арифметике . Таким образом, термин «единство», введённый Геноном в его книге Множественные состояниях бытия и несущий смысл происхождения всех вещей, является синонимом понятия «Быть», а единство, неделимое и не имеющее частей, обладает всеми аспектами божественности.

Генон пишет, что принцип действия-противодействия (или третий закон Ньютона), как и все законы сохранения, не выполняется, так как эти принципы — частные и относительные случаи общего закона равновесия сил природы, связаны с «уникальностью» существования и являются следствием единства принципа существования . Он делает вывод, что и здесь современные ученые больше не осознают значения математических знаков, написав, что баланс между двумя силами составляет поэтому обозначается 0, а ноль связан с непроявленным, в то время, как единство сил в проявленном мире должно символизироваться единицей . Это единство, в котором пребывает равновесие, и есть то, что даосизм называет «Неизменная середина» и, по мнению Генона, этот баланс или эта гармония есть в центре каждого состояния, и в каждой модальности бытия отражена «Активность Неба» , а все законы инвариантности физики проявляются только как очень частные случаи .

Что касается 0, то Генон заявляет, что это никоим образом не число, а, наоборот, символ отсутствия количества. Дело вовсе не в ничто, а, напротив, в том, что находится за пределами количества. Таким образом, ноль символизирует Небытие, Непроявленное подобно тишине или пустоте, которая бесконечно больше Проявленного . Он снова утверждает, что математические обозначения, кажется, утратили это значение, в качестве примера беря ряд: 0 … … , , , 1, 2, 3, … … .

Символ никоим образом не представляет собой число или бесконечность, но несёт смысл «неопределенно большой». Точно так же символ 0 (который не может соответствовать нулю как отсутствию количества) не может быть нулевым числом, которое было бы последним членом в убывающем направлении, которое не может иметь никакого места в этом ряду числовых величин, но представляет собой «бесконечно уменьшающийся». Доказательство того, что оно не может быть определённым числом, состоит в том, что равноотстоящие члены всегда удовлетворяют , в то время как выражение напротив, является неопределенной формой.

Поэтому Генон делает вывод о том, что не может быть бесконечных чисел: множество всех чисел не может составлять число, это неисчислимое множество, которое превосходит любое число и которое нельзя представлять как «коллекцию» . С другой стороны, можно представить себе различные неопределенности и разный порядок и, следовательно, целую иерархию в этих порядках неопределенности. В трансфинитах, введенных Георгом Кантором, Генон видит не числа, а средства иерархизации этих индефинитов . Генон делает вывод о том, что подобные термины в современной математике утратили всякую логику и трансцендентный смысл .

Понятие предела