Теорема Сохоцкого — Вейерштрасса — теорема комплексного анализа, описывающая поведение голоморфной функции в окрестности существенной особой точки.
Она гласит, что всякая однозначная аналитическая функция в каждой окрестности существенно особой точки принимает значения, сколь угодно близкие к произвольному наперёд заданному комплексному числу.
История
Была опубликована Ю. В. Сохоцким в 1868 году в его магистерской диссертации; в ней доказывалось, что «в полюсе бесконечного порядка» (так была названа существенно особая точка) функция «должна принимать всевозможные значения» (под значением функции в этой точке в этой работе понималось предельное значение по сходящейся к ней последовательности точек) ..
Одновременно с Сохоцким теорему о плотности образа проколотой окрестности существенно особой точки опубликовал итальянский математик Ф. Казорати в своей работе «Теория функций комплексных переменных». Вейерштрасс опубликовал эту теорему только в 1876 году в работе «К теории однозначных аналитических функций».. Впервые же она встречается у французских математиков Ш. Брио и Ж. К. Буке в работе по теории эллиптических функций.
Сохоцкий нигде не отстаивал своего приоритета по поводу этого и других своих результатов, приписывавшихся другим; в литературе на европейских языках теорема известна как теорема Казорати — Вейерштрасса.
Формулировка Каково бы ни было , в любой окрестности существенно особой точки функции найдётся хотя бы одна точка , в которой значение функции отличается от произвольно заданного комплексного числа B меньше, чем на .
Доказательство Предположим, что теорема неверна, т.е.
Рассмотрим вспомогательную функцию . В силу нашего предположения функция определена и ограничена в -окрестности точки . Следовательно - устранимая особая точка Этот факт доказывается с помощью мажорантной оценки разложения функции в ряд Лорана.. Это означает, что разложение функции в окрестности точки имеет вид: . Тогда, в силу определения функции , в данной окрестности точки имеет место следующее разложение функции : , где аналитическая функция ограничена в -окрестности точки . Но такое разложение означает, что точка является полюсом или правильной точкой функции , и разложение последней в ряд Лорана должно содержать конечное число членов, что противоречит условию теоремы.
Эквивалентным образом эта теорема может быть переформулирована следующим образом: Если точка является существенно особой для функции , аналитической в некоторой проколотой окрестности , то для произвольного комплексного числа можно найти последовательность , сходящуюся к , для которой . множество значений голоморфной функции в сколь угодно малой проколотой окрестности её существенной особой точки всюду плотно в .
Обобщения
Теорему Сохоцкого обобщает Большая теорема Пикара, которая утверждает, что аналитическая функция в окрестности существенно особой точки принимает все значения кроме, быть может, одного значения.
Комментарии
Ссылки
Литература Евграфов М. А. Аналитические функции. — : Наука. — 1968, 448 стр. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — : Наука. — 1969, 577 стр.
Категория:Комплексный анализ Сохоцкого-Вейерштрасса Категория:Объекты, названные в честь Карла Вейерштрасса