Степенна́я фу́нкция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное числоВыгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.. К степенным часто относят и функцию вида , где — некоторый (ненулевой) коэффициент. Существует также комплексное обобщение степенной функции.
Степенная функция является частным случаем многочлена. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.
Вещественная функция
Область определения Для целых положительных показателей степенную функцию можно рассматривать на всей числовой прямой, тогда как для целых отрицательных функция не определена в нуле (нуль является её особой точкой).
Для не целого показателя степенная функция определена только при Если то функция определена и в нуле.
Целочисленный показатель степени Графики степенной функции при целочисленном показателе :
При нечётном графики центрально-симметричны относительно начала координат, в котором имеет точку перегиба. При чётном степенная функция чётна: её график симметричен относительно оси ординат.
Графики степенной функции при натуральном показателе называются параболами порядка . При чётном функция всюду неотрицательна (см. графики). При получается функция , называемая линейной функцией или прямой пропорциональной зависимостью.
Графики функций вида , где — натуральное число, называются гиперболами порядка . При нечётном оси координат являются асимптотами гипербол. При чётном асимптотами являются ось абсцисс и положительное направление оси ординат (см. графики). При показателе получается функция , называемая обратной пропорциональной зависимостью.
При функция вырождается в константу:
Рациональный показатель степени
Возведение в рациональную степень определяется формулой:
Если , то функция представляет собой арифметический корень степени :
Пример: из третьего закона Кеплера непосредственно вытекает, что период обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью её орбиты соотношением: (полукубическая парабола).
Свойства
Монотонность В интервале функция монотонно возрастает при и монотонно убывает при Значения функции в этом интервале положительны.
Аналитические свойства Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена.
Производная функции: .
Ноль, вообще говоря, является особой точкой. Так, если , то -я производная в нуле не определена. Например, функция определена в нуле и в его правой окрестности, но её производная в нуле не определена.
Неопределённый интеграл: Если , то При получаем:
Таблица значений малых степеней n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n102 4 8 16 32 64 128 256 512 10243 9 27 81 243 729 4 16 64 256 1024 5 25 125 625 3125 6 36 216 1296 7 49 343 2401 8 64 512 4096 9 81 729 6561 10 100 1000
Комплексная функция Степенная функция комплексного переменного в общем виде определяется формулой:
Здесь показатель степени — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение равно где — произвольное целое, а его главное значение есть
Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно. При натуральном показателе степени функция однозначна и -листна. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь , то у функции будет различных значений.
См. также Логарифм Целая рациональная функция Показательная функция Степенной закон в статистике
Примечания
Литература
Ссылки
Категория:Элементарные функции Категория:Элементарные функции комплексной переменной