Паранепротиворечивая логика — стремление формальной системы к решению проблемы противоречий, с помощью метода дифференциации. Представляет собой область, занимающуюся изучением и развитием «устойчивым к противоречиям» систем, исключающих принцип взрыва.

Логики, допускающие несогласованность, обсуждаются по крайней мере с 1910 года, а возможно, и гораздо более раннего времени, например, в трудах Аристотеля, однако термин paraconsistent — «паранепротиворечивость» был впервые предложен в 1976 году перуанским философом Priest (2002), p. 288 and §3.3.. Изучение паранепротиворечивой логики получило название парапротиворечивостиCarnielli, W.; Rodrigues, A.

"An epistemic approach to paraconsistency: a logic of evidence and truth "

Pittsburg, в рамках которой существует направление диалетеизма.

Определение В классической логике, а также в интуиционистской и большинстве других логик, противоречия влекут за собой что угодно. Это свойство, известное как принцип взрыва (лат. ex falso [sequitur] quodlibet, «из ложности [следует] что угодно»; или лат. ex contradictione [sequitur] quodlibet)Carnielli, W. and Marcos, J. (2001) "Ex contradictione non sequitur quodlibet" Proc. 2nd Conf. on Reasoning and Logic (Bucharest, July 2000).

Формально может быть выражено, как: 1Предпосылка2Устранение конъюнкциииз 13Введение в дизъюнкциюиз 24Устранение конъюнкциииз 15Дизъюнктивный силлогизмиз 3 и 4 Что означает:

Если предполагается, что истинны и P, и его отрицание ¬P, то из двух утверждений P и (некоторого произвольного) A по крайней мере одно истинно. Следовательно, истинно либо P, либо A. Однако, если истинно либо P, либо A, а также что P ложно (что ¬P истинно), то можно заключить, что A, которое может быть любым, истинно. Таким образом, если теория (theory) содержит единственное несоответствие, то она тривиальна (trivial), т.е. в ней каждое предложение является теоремой.

Характерной или определяющей особенностью паранепротиворечивой логики является исключение принципа взрыва. В результате паранепротиворечивые логики, в отличие от классических и других логик, могут быть использованы для формализации непротиворечивых, но нетривиальных теорий.

Сравнение с классической логикой Паранепротиворечивые логики пропозиционально слабее классических логик, т.е. в них считается действительным меньшее число пропозициональных умозаключений. Дело в том, что паранепротиворечивая логика никогда не может быть пропозициональным расширением классической логики, то есть пропозиционально подтверждать всё то, что подтверждается в классической логике. Таким образом, в некотором смысле паранепротиворечивая логика является более консервативной или даже осторожной, чем классическая логика. Именно благодаря такой консервативности паранепротиворечивые языки могут быть более выразительными, чем их классические аналоги, включая иерархию метаязыков Альфреда Тарски и др.

По словам Соломона Фефермана: «естественный язык изобилует прямо или косвенно самореферентными, но внешне абсолютно бесполезными выражениями — все они исключены из тарскианской структуры». Это выразительное ограничение может быть решено в рамках паранепротиворечивой логики.

Мотивация создания паранепротиворечивой логики Основным мотивом создания паранепротиворечивой логики является убеждение в том, что рассуждения о противоречивой информации должны быть контролируемыми и дифференцируемыми. Принцип взрыва не позволяет этого сделать и поэтому должен быть опущен. В непаранепротиворечивых логиках существует только одна противоречивая теория: тривиальная теория, в которой каждое предложение является теоремой. Паранепротиворечивая логика позволяет провести границу между противоречивыми теориями и обосновать соответствующие рассуждения.

Исследования в области паранепротиворечивой логики привели к возникновению философской школы диалетеизма (наиболее известный автор — ), утверждающей, что истинные противоречия существуют в реальности, например, группы людей, придерживающихся противоположных взглядов на различные вопросы о морали. Диалетизм рационально обязывает человека придерживаться той или иной формы паранепротиворечивой логики в ущерб , т.е. признанию истинности всех противоречий и, соответственно, всех утверждений. Однако использование паранепротиворечивых логик не обязательно предполагает диалектическую точку зрения. Например, можно не принимать на веру ни существование истинных теорий, ни истинных противоречий, а предпочесть более мягкий вариант, например, , предложенный Басом ван Фраассеном (Bas van Fraassen).

Философия В классической логике, три закона Аристотеля — закон исключённого третьего (p или ¬p), непротиворечия ¬ (p ∧ ¬p) и тождества (p iff p) — рассматриваются как одно и то же, что обусловлено взаимоопределением связных элементов. Кроме того, традиционно считается, что противоречивость (наличие противоречий в теории или совокупности знаний) и тривиальность (то, что такая теория влечет за собой все возможные следствия) неразделимы при условии наличия отрицания. Эти взгляды могут быть поставлены под философский вопрос именно на том основании, что в них не проводится различие между противоречивостью и другими формами несогласованности.

С другой стороны, из «конфликта» между непротиворечивостью и противоречивостью можно вывести тривиальность, если правильно разграничить эти понятия. Более того, сами понятия непротиворечивости и противоречивости могут быть интернализованы на уровне объектного языка.

Компромиссы Паранепротиворечивость предполагает компромиссы. В частности, отказ от принципа взрыва требует отказа хотя бы от одного из двух следующих принциповSee the article on the principle of explosion for more on this.: Введение в дизъюнкциюДизъюнктивный силлогизм Оба данных принципа были оспорены.

Один из подходов состоит в том, чтобы отказаться от введения дизъюнкции, но сохранить дизъюнктивный силлогизм и транзитивность. При таком подходе действуют правила натурального вывода, за исключением введения в дизъюнкцию и закон исключённого третьего.

Кроме того, умозаключение A⊢B не обязательно означает влечение A⇒B. Также выполняются обычные логические свойства: двойное отрицание, а также ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность, законы Де Моргана и идемпотентности умозаключений (для конъюнкции и дизъюнкции).

Далее, доказательство отрицания с проверкой на противоречивость выполняется для энтилемента: (A⇒(B∧¬B))⊢¬A.

Другой подход заключается в отказе от дизъюнктивного силлогизма. С точки зрения диалетеизма совершенно логично, что дизъюнктивный силлогизм должен быть несостоятельным. Идея этого силлогизма состоит в том, что если ¬ A, то A исключается и B может быть выведено из A ∨ B. Однако если A может выполняться так же, как и ¬ A, то аргумент в пользу вывода становится слабее.

Другой подход состоит в том, чтобы делать это одновременно. Во многих системах релевантной логики, а также в линейной логике существуют два отдельных дизъюнктивных коннектора. Один позволяет вводить дизъюнкцию, а другой допускает дизъюнктивный силлогизм. Конечно, это имеет те недостатки, которые присущи отдельным дизъюнктивным коннективам, включая путаницу между ними и сложность взаимосвязи.

Более того, правило доказательства отрицания (см. ниже) само по себе является непротиворечивым в том смысле, что отрицание любой пропозиции может быть доказано из противоречия. Доказательство отрицанияЕсли , тогда Строго говоря, наличие только приведённого правила является паранепротиворечивым, поскольку не всякая пропозиция может быть доказана из противоречия. Однако если правило — ( ) добавляется дополнительно, то любая пропозиция может быть доказана из противоречия. Для интуиционистской логики исключение двойного отрицания не выполняется.

Пример Одной из известных систем паранепротиворечивой логики является система, известная как ЛП ("Логика парадоксов"), впервые предложенная аргентинским логиком Флоренсио Гонсалесом Асенхо в 1966 году и впоследствии популяризированная Пристом (Priest) и впоследствии многими другими.Priest (2002), p. 306.

Одним из способов представления семантики для ЛП является замена обычной функциональной оценки на реляционнуюLP is also commonly presented as a many-valued logic with three truth values (true, false, and both).. Бинарное отношение связывает хорошо сформированную формулу со значением истинности: означает, что это истинно, а означает, что является ложью. Формуле должно быть присвоено хотя бы одно истинностное значение, но нет требования, чтобы ей было присвоено не более одного истинностного значения.

Семантические формулы отрицания и дизъюнкции задаются следующим образом:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4de8b59bd75a0c03b32a3a0943b10135d0196a6

(Остальные логические операции, как обычно, определяются в терминах отрицания и дизъюнкции).

Или, выражаясь менее символично:

не A истинно тогда и только тогда, когда A ложно не A является ложным тогда и только тогда, когда A истинно A или B истинно тогда и только тогда, когда A истинно или B истинно A или B являются ложными тогда и только тогда, когда A является ложным, и B является ложным

(Семантическое) умозаключение тогда определяется как сохранение истины:

тогда и только тогда, когда истинно, когда каждый элемент истина.

Теперь рассмотрим оценку такую, что и, но не факт, что . Легко проверить, что эта оценка является контрпримером как для принципа взрыва, так и для дизъюнктивного силлогизма. Однако она также является контрпримером modus ponens для импликации ЛП. По этой причине сторонники ЛП обычно выступают в пользу расширения системы за счёт включения в неё более сильной условной связки, не определяемой в терминах отрицания и дизъюнкцииSee, for example, Priest (2002), §5..

Как можно убедиться, в ЛП сохраняется большинство других схем вывода, таких как законы Де Моргана и обычные правила введения и исключения (introduction and elimination rules), отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. Удивительно, но логические истины (или тавтологии) ЛП в точности соответствуют истинам классической логике высказыванийSee Priest (2002), p. 310.. ЛП и классическая логика отличаются лишь выводами, которые рассматриваются в них как достоверные.

Ослабление требования, чтобы каждая формула была либо истинной, либо ложной, приводит к более слабой паранепротиворечивой логике, известной как энтимема первой степени (ЭПС). В отличие от ЛП, ЭПС не содержит логических истин.

ЛП является лишь одной из многих паранепротиворечивых логик, которые были предложеныSurveys of various approaches to paraconsistent logic can be found in Bremer (2005) and Priest (2002), and a large family of paraconsistent logics is developed in detail in Carnielli, Congilio and Marcos (2007).. В данном случае речь идёт лишь об иллюстрации того, как может работать паранепротиворечивая логика.

Отношение к другим логикам Одним из важных типов паранепротиворечивых логик является релевантная логика. Логика является релевантной, если удовлетворяет следующему условию:

если A → B — теорема, то A и B имеют общую нелогическую константу.

Из этого следует, что релевантная логика заведомо не может иметь в качестве теоремы (p ∧ ¬p) → q, а значит (при разумных предположениях) не допускает проверки вывода из {p, ¬p} в q.

Паранепротиворечивая логика имеет достаточно много общего с многозначной логикой, однако не все паранепротиворечивые логики являются многозначными (и, конечно, не все многозначные логики являются паранепротиворечивыми). Диалектические логики, которые также являются многозначными, являются паранепротиворечивыми, но при этом обратное утверждение не имеет смысла.