Полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся архимедовы тела. Классификация Полуправильными в этом случае называются многогранники, у которых отсутствует только одно из первых двух из следующих свойств правильных тел: Все грани являются правильными многоугольниками; Все грани одинаковы; Тело относится к одному из трёх существующих типов пространственной симметрии (тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдрической). Архимедовы — тела, у которых отсутствует второе свойство, у каталановых отсутствует первое, третье свойство сохраняется для обоих видов тел. Тела, не обладающие третьим свойством, называются телами Джонсона (некоторые из которых не обладают и вторым свойством) и не относятся к полуправильным.

Помимо архимедовых и каталановых тел к полуправильным многогранникам иногда относят и бесконечные последовательности призм и антипризм, у которых также отсутствует только второе свойство. Призмы и антипризмы, однако, относятся к диэдральной группе симметрии, для которой не существует правильных многогранников.

Архимедовы тела Архимедовы тела — выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани — правильные многоугольники одного типа, это — правильный многогранник, или платоново тело); для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение, переводящее многогранник в себя), переводящая одну вершину в другую. В частности, все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Первое построение полуправильных многогранников приписывается Архимеду, хотя соответствующие работы утеряны.

Все архимедовы тела являются правильногранными многогранниками.

Каталановы тела Тела, двойственные архимедовым, так называемые каталановы тела, имеют конгруэнтные грани (переводимые друг в друга сдвигом, вращением или отражением), равные двугранные углы и правильные многогранные углы. Каталановы тела тоже иногда называют полуправильными многогранниками. В этом случае полуправильными многогранниками считается совокупность архимедовых и каталановых тел. Архимедовы тела являются полуправильными многогранниками в том смысле, что их грани — правильные многоугольники, но они не одинаковы, а каталановы — в том смысле, что их грани одинаковы, но не являются правильными многоугольниками; при этом для тех и других сохраняется условие одного из типов пространственной симметрии: тетраэдрического, октаэдрического или икосаэдрического.

Список полуправильных многогранников

Существует 13 архимедовых тел, два из которых (курносый куб и плосконосый додекаэдр) не являются зеркально-симметричными и имеют левую и правую формы. Если учитывать левую и правую форму как отдельные тела, тогда получится 15 архимедовых тел. Соответственно, существует 13 (15) каталановых тел.

Многогранник — архимедово тело Грани Вершины Рёбра Конфигурациявершины Двойственный — каталаново тело Группа симметрии Кубооктаэдр 8 треугольников6 квадратов 12 24 3,4,3,4 Ромбододекаэдр Oh Икосододекаэдр 20 треугольников12 пятиугольников 30 60 3,5,3,5 Ромботриаконтаэдр Ih Усечённый тетраэдр 4 треугольника4 шестиугольника 12 18 3,6,6 Триакистетраэдр Td Усечённый октаэдр 6 квадратов8 шестиугольников 24 36 4,6,6 Тетракисгексаэдр(преломлённый куб) Oh Усечённый икосаэдр 12 пятиугольников20 шестиугольников 60 90 5,6,6 Пентакисдодекаэдр Ih Усечённый куб 8 треугольников6 восьмиугольников 24 36 3,8,8 Триакисоктаэдр Oh Усечённый додекаэдр 20 треугольников12 десятиугольников 60 90 3,10,10 Триакисикосаэдр Ih Ромбокубоктаэдр 8 треугольников18 квадратов (6 — в кубическом положении, 12 — в ромбическом) 24 48 3,4,4,4 Дельтоидальный икоситетраэдр Oh Ромбоикосододекаэдр 20 треугольников30 квадратов12 пятиугольников 60 120 3,4,5,4 Дельтоидальный гексеконтаэдр Ih Ромбоусечённый кубооктаэдр 12 квадратов8 шестиугольников6 восьмиугольников 48 72 4,6,8 Гекзакисоктаэдр Oh Ромбоусечённый икосододекаэдр 30 квадратов20 шестиугольников12 десятиугольников 120 180 4,6,10 Гекзакисикосаэдр Ih Курносый куб 32 треугольника6 квадратов 24 60 3,3,3,3,4 Пентагональный икоситетраэдр O Курносый додекаэдр 80 треугольников12 пятиугольников 60 150 3,3,3,3,5 Пентагональный гексеконтаэдр I

Использование

Каталановы тела — наряду с платоновыми телами, равногранными бипирамидами и трапецоэдрами — используются в качестве игральных костей в некоторых настольных играх (см. фотографии). Архимедовы тела, у которых грани не равноправны и потому имеют разные шансы выпадения, для этой цели мало пригодны.

См. также Правильный многогранник Звёздчатый многогранник Призма Антипризма Многогранник Джонсона Ссылки

Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями// Записки научных семинаров ЛОМИ. Том 2 -- 1966.

* Категория:Комбинаторная геометрия