Уравнение Рэлея — Плессета (уравнение Безанта — Рэлея — Плессета) — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, которое определяет динамику сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости: , где — плотность окружающей жидкости, считающаяся постоянной — радиус пузыря — кинематическая вязкость окружающей жидкости, считающаяся постоянной. — поверхностное натяжение границы раздела пузырь-жидкость , где — давление внутри пузырька, считается однородным, и — внешнее давление, бесконечно удаленное от пузыря
При условии, что известно и задано, то для решения задачи об изменяющемся во времени радиусе пузырька можно использовать уравнение Рэлея — Плессета.
Уравнение Рэлея — Плессета выводится из уравнений Навье — Стокса в предположении сферической симметрии.
История Без учёта поверхностного натяжения и вязкости уравнение было впервые опубликовано в книге 1859 года со следующей формулировкой задачи: бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в покое, а сферическая часть жидкости внезапно аннигилирует; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке жидкости и время, за которое полость заполнится, при этом давление на бесконечном расстоянии должно оставаться постоянным'' . Безант предсказал время, необходимое для заполнения пустой полости начального радиуса :
Лорд Рэлей нашёл более простой вывод того же результата, который основан на законе сохранения энергии. Кинетическая энергия втекающей жидкости равна , где — зависящий от времени радиус пустоты, а — радиальная скорость жидкости в ней. Работа, совершаемая жидкостью, вдавливающейся в бесконечность, равна . Приравнивание этих двух энергий дает соотношение между и . Тогда, отмечая, что , методом разделения переменных получаем результат Безанта. Рэлей пошёл дальше Безанта, оценив интеграл (бета-функцию Эйлера) через гамма-функции. Рэлей применил этот подход к случаю полости (пузырьку), заполненной идеальным газом, включив работу, совершаемую при сжатии газа.
Для случая абсолютной пустоты Рэлей определил, что давление в жидкости при радиусе определяется следующим образом:
.
Когда объём пустоты составляет не менее четверти своего начального объёма, давление монотонно убывает от на бесконечности до нуля в . По мере дальнейшего сжатия пустоты максимум давления, превышающий , появляется при
,
очень быстро растёт и сходится в пустоте.
Впервые это уравнение было применено к движущимся кавитационным пузырькам в 1949 году путём включения в него эффектов поверхностного натяжения.
Вывод уравнения
Уравнение Рэлея — Плессета можно полностью вывести на основе первых принципов, используя радиус пузырька в качестве динамического параметра. Для сферического пузыь радиус которого зависит от времени, где — это время. Предположим, что в пузырьке находится однородно распределённый пар/газ с равномерной температурой и давлением . За пределами пузырька находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью и динамической вязкостью . Пусть температура и давление вдали от пузырька равны и . Температура предполагается постоянной. На радиальном расстоянии от центра пузырька изменяющимися свойствами жидкости являются давление , температура и скорость движения в радиальном направлении . Эти свойства жидкости определяются только вне пузырька, то есть .
Сохранение массы В силу сохранения массы закон обратных квадратов требует, чтобы радиально направленная скорость была обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (центра пузырька). Поэтому, пусть есть некоторая функция времени,
.
В случае нулевого переноса массы через поверхность пузырька скорость на границе раздела должна быть равна
,
откуда
.
В случае переноса массы её скорость увеличения внутри пузыря определяется выражением
где — это объём пузыря. Если — скорость жидкости относительно пузырька при , то масса, поступающая в пузырек, определяется выражением
.
Здесь — это площадь поверхности пузыря. В силу сохранения массы , поэтому . Следовательно
.
Таким образом, получаем
.
Во многих случаях плотность жидкости значительно превышает плотность пара , так что может быть аппроксимирована исходной формой нулевого массопереноса , так что
.
Сохранение импульса Полагая, что жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость, несжимаемое уравнение Навье-Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении, получаем
.
Замена кинематической вязкости и перестановка даёт
.
При этом подставляя из условия сохранения массы, получаем
.
Вязкие члены исчезают во время замены. Разделение переменных и интегрирование от границы пузырька к даёт
Граничные условия Пусть — нормальное напряжение в жидкости, направленное радиально наружу от центра пузырька. В сферических координатах для жидкости постоянной плотности и постоянной вязкости
.
Следовательно, на некотором небольшом участке поверхности пузырька результирующая сила, действующая на пластинку, на единицу площади равна
где — это поверхностное натяжение. Если массопереноса через границу нет, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, следовательно
.
И поэтому результат сохранения импульса становится
тем самым переставляя и заменяя , получаем уравнение Рэлея — Плессета
Используя точечную запись для представления производных по времени, уравнение Рэлея — Плессета можно записать как:
Решения В 2014 году были найдены аналитические решения в замкнутой форме для уравнения Рэлея — Плессета как для пустого, так и для газонаполненного пузырька и были обобщены на N-мерный случай. Также был изучен случай, когда поверхностное натяжение возникает за счёт эффекта капиллярности.
Кроме того, для частного случая, когда пренебрегают поверхностным натяжением и вязкостью, также известны аналитические аппроксимации высокого порядка.
В статическом случае уравнение Рэлея — Плессета упрощается, преобразуясь к :
.
Когда рассматриваются только бесконечно малые периодические колебания радиуса и давления пузырька, уравнение Рэлея — Плессета также даёт выражение собственной частоты колебаний пузырька.
Примечания
Категория:Дифференциальные уравнения Категория:Гидродинамика