Фигу́ра () — любое подмножество некоторого однородного пространства с фундаментальной группой, которое можно включить в некоторое пространство фигуры — множество подмножеств этого пространства такое, что это множество изоморфно некоторому пространству геометрического объекта. Компоненты геометрического объекта называются координатами соответствующей фигуры.
Ранг, жанр, характеристика и тип геометрического объекта называются рангом, жанром, характеристикой и типом соответствующей фигуры. Вместе они образуют арифметические инварианты фигуры. Например, окружность в трёхмерном евклидовом пространстве — это фигура ранга 6, жанра 1, характеристики 1 и типа 1; точка в трёхмерном проективном пространстве — это фигура ранга 3, жанра 0, характеристики 2 и типа 1.
Вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа, определяющая геометрический объект, называется системой уравнений инвариантности (стационарности) фигуры.
Простая и индуцирующая фигура Пусть даны и — две некоторые фигуры некоторого однородного пространства. Если существует отображение пространства фигуры на пространство фигуры такое, что любой геометрический объект, соответствующий фигуре , охватывается любым геометрическим объектом, соответствующим фигуре , то говорят, что фигура охватывает, или индуцирует, фигуру (равно фигуру охватывается, или индуцируется, фигурой ).
Фигура ранга называется простой, если она не охватывает никакой другой фигуры меньшего ранга. Фигура называется индуцирующей фигурой индекса , если существует охватываемая ею фигура ранга , причем ранг любой другой фигуры , охватываемой фигурой , не превосходит .
Например, точка, плоскость, гиперквадрика в проективном пространстве — простые фигуры. Гиперквадрика в аффинном пространстве и () квадрика в проективном пространстве — индуцирующие фигуры соответственно индексов и .
Пара фигур. Коэффициент инцидентности Парой фигур называется упорядоченная множество двух фигур. Коэффициентом инцидентности пары фигур называется число , где и — ранги фигур и соответственно, а — ранг системы форм , , , , — левых частей уравнений стационарности фигур и соответственно. Если коэффициент инцидентности пары , то пара называется неинцидентной.
Примечания
Источники
Категория:Дифференциальная геометрия и топология