Грубая структура на данном множестве — набор подмножеств декартового произведения с определёнными свойствами, которые позволяют определить крупномасштабную структуру напоминающую метрику.
Традиционно в геометрии и топологии уделяется внимание локальным свойствам, как, например непрерывность. Она зависит от того, являются ли обратные образы малых открытых множеств, или окрестностей, сами открытыми. Крупномасштабные свойства пространства — например ограниченность — не зависят от локальной геометрии. Грубая геометрия предоставляют инструменты для измерения крупномасштабных свойств пространства, и так же, как метрика или топология содержат информацию о мелкомасштабной структуре пространства, грубая структура содержит информацию о его крупномасштабных свойствах.
В правильном смысле грубая структура — это не крупномасштабный аналог топологической структуры, а .
Определение
Грубая структура на множестве есть выделенное семейство множеств из декартова произведения , называемых контролируемыми множествами, таких, что обладает отношением тождественности, замкнуто относительно взятия подмножества, обратного, конечного объединения и композиции; точнее, Тождественность/диагональ: Диагональ является членом —отношения тождественности. Замкнуто относительно взятия подмножества: Если и тогда Замкнуто относительно взятия обратного: Если , тогда обратное (или транспонированое) множество принадлежит . Замкнуто относительно объединения: Если , тогда их объединение является членом Замкнуто относительно композиции: Если , тогда их композиция : существует такой , что являются членами .
Связанные определения
Множество , наделённое грубой структурой , является . Для подмножества из , множество определяется как для некоторого . Определим -шар с центром в как множество также обозначается . Символ обозначает множество . Подмножество из называется ограниченным, если лежит в .
Грубые отображения Учитывая множество и грубую структуру , мы говорим, что отображения и , если — контролируемое множество.
Для грубых структур и мы говорим, что — это , если для каждого ограниченного множества из множество ограниченно в и для каждого контролируемого множества в множество контролируемо в . и называются , если существуют их грубые отображения и , такие что близко к и близко к
Примеры на метрическом пространстве — это совокупность всех подмножеств из таких, что зачения при ограничены. При такой структуре целочисленная решётка грубо эквивалентна -мерному Евклидову пространству. Пространство , в котором является контролируемым, называется . Такое пространство грубо эквивалентно точке. Метрическое пространство с ограниченной грубой структурой является ограниченным (как грубое пространство) тогда и только тогда, когда оно ограничено (как метрическое пространство). Тривиальная грубая структура состоит только из диагонали и ее подмножеств. В этой структуре отображение является грубой эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно является биекцией (множеств). на метрическом пространстве — это совокупность всех подмножеств из таких, что для всех существует компакт из такой, что для всех С другой стороны, совокупность всех подмножеств из таких, что является компактом. на множестве состоит из диагонали вместе с подмножествами из , которые содержат конечное число точек вне диагонали. Если — топологическое пространство, то на состоит из всех подмножеств , то есть всех подмножеств таких, что и относительно компактны, когда относительно компактно.
Примечания
Ссылки John Roe, Lectures in Coarse Geometry, University Lecture Series Vol. 31, American Mathematical Society: Providence, Rhode Island, 2003. Corrections to Lectures in Coarse Geometry
А. А. Арутюнов Грубая геометрия
Категория:Общая топология Категория:Метрическая геометрия Категория:Топология