Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости (), — это отображение комплексной плоскости на себя: , — постоянные, .

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи: одномерное комплексное дробно-линейное преобразование; дробно-линейная функция одной комплексной переменной; рациональная функция первого порядка; одномерное комплексное преобразование Мёбиуса.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного.

Обладая обманчивой простотой, дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых захватывающих современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде магическом взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом.

Определение дробно-линейного преобразования

Формальное определение Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя: , — постоянные, или коэффициенты, .

Дробно-линейное преобразование представляет дробь, числитель и знаменатель которой и суть целые линейные функции:

При дробь из становится сократимой и вырождается в постоянную, то есть перестаёт быть дробно-линейным преобразованием.

При и дробно-линейная функция становится следующей целой линейной функцией: .

Доопределение на расширенной комплексной плоскости Компактифицируем комплексную плоскость . Для этого добавим к множеству конечных точек этой плоскости единственную бесконечную, или бесконечно удалённую, точку — некоторый абстрактный идеальный элемент.

Расширенной, или замкнутой, комплексной плоскостью называется компактифицированная, то есть дополненная бесконечно удалённой точкой , комплексная плоскость . В связи с этим исходная комплексная плоскость иногда называется конечной, или открытой, плоскостью.

Дробно-линейная функция , была определена для всех точек расширенной комплексной плоскости , кроме следующих: при — кроме точек и ; при — кроме точки .

Доопределим дробно-линейную функцию в этих особых точках, чтобы получить следующее преобразование расширенной комплексной плоскости: .

Легко получить, что: при и ввиду

доопределяем с сохранением непрерывности функции ; при два выражения , говорят о том, что необходимо доопределить с сохранением непрерывности функции , .

Синонимы дробно-линейного преобразования В литературе встречаются следующие синонимы дробно-линейного преобразования: как противопоставление целому линейному преобразованию: лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости; о́бщее лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости; билине́йное преобразова́ние комплексной плоскости; лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости; о́бщая лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости; как проективное преобразование: гомографи́ческое преобразова́ние комплексной плоскости; отображение множеств — обобщение понятий преобразования и функции; дро́бно-лине́йное отображе́ние комплексной плоскости; преобразование осуществляется с помощью его функции: дро́бно-лине́йная фу́нкция на комплексной плоскости; рациона́льная фу́нкция первого порядка; преобразование, сохраняющее окружности: то́чечное круго́вое преобразова́ние комплексной плоскости; преобразова́ние Мёбиуса комплексной плоскости; отображе́ние Мёбиуса комплексной плоскости; в теории относительности: спи́новое преобразова́ние.

Простейшие свойства дробно-линейного преобразования Детерминант дробно-линейного преобразования Определитель, или детерминант, дробно-линейного преобразования, записанного в форме , — это следующая величина, выражение для которой составлено из постоянных дробно-линейного преобразования: .

Перепишем функцию дробно-линейного преобразования так, чтобы в её записи появилось выражение для детерминанта. Для этого выделим целую часть дроби и вынесем за скобки коэффициент при переменной при условии :

, .

Теперь очевидно, что при нулевом детерминанте дробно-линейное преобразование вырождается в постоянную , то есть отображает всю комплексную плоскость в одну точку .

Не умаляя общности, можно разделить постоянные , , и обычной записи дробно-линейного преобразования либо на , либо на — без разницы, и получить, что его детерминант будет равен единице: .

Унимодулярная нормировка — приведение значения детерминанта к единице: .

Унимодулярное дробно-линейное преобразование — дробно-линейное преобразование с унимодулярной нормировкой.

Биективность, гомеоморфность и конформность 1. Биективность. Дробно-линейное преобразование . определено однозначно на всей расширенной комплексной плоскости .

Выразим через (, случай достаточно очевиден): , получаем, что любому значению , и , отвечает одно определённое значение , а из доопределения преобразования на расширенной плоскости точкам и отвечают точки и соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование биективно, то есть взаимно однозначно.

2. Гомеоморфность. Достаточно очевидна непрерывность преобразования в силу его доопределения с сохранением непрерывности на расширенной плоскости . Следовательно, дробно-линейное преобразование гомеоморфно, то есть взаимно однозначно и непрерывно на .

3. Конформность. Найдём производную дробно-линейного преобразования: .

Отсюда получаем, что дробно-линейное преобразование конформно при , и . Очевидно, что точка расширенной комплексной плоскости — простой полюс, а точка — регулярная, то есть дробно-линейная функция в ней аналитическая. Оба вычета в точках и отличны от нуля: и соответственно. Следовательно, дробно-линейное преобразование конформно в оставшихся точках и и, поскольку оно биективно, то и конформно на всей расширенной плоскости .

Равенство представлений дробно-линейных преобразований Изучению подлежит множество всех дробно-линейных преобразований с ненулевыми детерминантами. Две формы дробно-линейных преобразования расширенной комплексной плоскости и называются равными, если они имеют одинаковые значения, то есть при всех значениях комплексной переменной .

Имеет место следующее утверждение: две формы дробно-линейных преобразования и равны тогда и только тогда, когда их соответствующие постоянные пропорциональны между собой, то есть , , , , .

Последнее утверждение имеет следующее следствие: значение детерминанта дробно-линейного преобразования не постоянно для равных преобразований.

Действительно, если постоянные , , и заменить на постоянные , , и при , то детерминант увеличится в раз. Для равных форм преобразований неизменно отличие детерминанта.

Таким образом, дробно-линейное преобразование , имея в этой форме четыре постоянные, зависит только от трёх комплексных параметров.

Неподвижные точки В общем случае дробно-линейного преобразования расширенной комплексной плоскости , его образ , как правило, отличен от исходной точки комплексной плоскости. Тем не менее и здесь присутствуют неподвижные точки преобразования .

Неподвижная точка дробно-линейного преобразования — это точка комплексной плоскости, совпадающая со своим образом при этом преобразовании. Следовательно, неподвижная точка должна удовлетворять следующему уравнению: , , .

Это квадратное уравнение всегда имеет два различных или совпадающих корня (за исключением случая тождественного дробно-линейного преобразования ). В случае, когда при второй корень отсутствует, будем считать, что он тоже «равен бесконечности» . В частности: имеется хотя бы одна неподвижная точка тогда и только тогда, когда , поскольку ; имеется хотя бы одна неподвижная точка тогда и только тогда, когда , поскольку .

Неподвижные точки целого линейного преобразования Имеется критерий неподвижных точек того, что преобразование — целое линейное: целое линейное преобразование имеет хотя бы одну бесконечно удаленную неподвижную точку.

Дробно-линейная функция — целая линейная, если её постоянные и : .

В любом случае, поскольку всегда , у целого линейного преобразования есть неподвижная точка — это бесконечно удалённая точка расширенной комплексной плоскости .

1. Случай . Точка — конечная вторая неподвижная точка целого линейного преобразования , задаваемая этим уравнением.

2. Случай . Если и , то у целого линейного преобразования

нет конечной неподвижной точки. Однако его бесконечная удалённая точка представляет собой две слившиеся неподвижные точки, поскольку при , и конечная неподвижная точка

стремится к бесконечно удалённой.

Неподвижные точки общего дробно-линейного преобразования Дробно-линейная функция считается дробно-линейной функцией общего вида, если её постоянная . У такой функции следующие точки комплексной плоскости не являются неподвижными: и , так как и соответственно.

Теперь, решая в общем случае уравнение , то есть , при и , получим:

.

Для унимодулярного дробно-линейного преобразования имеем: .

Имеем два случая. Дискриминант не равен нулю: , в унимодулярном случае: . Тогда существуют две различные конечные неподвижные точки. Дискриминант равен нулю: , в унимодулярном случае: , то есть . Тогда существует одна двойная конечная неподвижная точка , которая равна нулю тогда и только тогда, когда , .

Равенство дробно-линейных преобразований по трём точкам

Только тождественное дробно-линейное преобразование имеет более двух неподвижны точек, у него все точки комплексной плоскости неподвижны. Поэтому, если у дробно-линейного преобразования больше двух неподвижных точек, то оно тождественное. Получается следующее утверждение: два дробно-линейных преобразования равны, если их значения совпадают в трёх различных точках.

Следовательно, для задания дробно-линейного преобразования достаточно иметь три различные точки комплексной плоскости , и вместе с их образами , и , причём такое преобразование единственное.

Это согласуется с тем, что дробно-линейное преобразование зависит только от трёх комплексных параметров.

Построение дробно-линейных преобразований по трём точкам Построение преобразования по трём конкретным точкам Построим дробно-линейное преобразование , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам , и , на которых преобразование имеет следующие конкретные и не всегда конечные значения: , , .

Имеет место следующее утверждение: дробно-линейное преобразование , отображающее произвольные конечные комплексные точки , и в конкретные точки , и соответственно, задаётся следующей функцией: .

Построение преобразования по любым трём точкам 1. Сначала построим дробно-линейное преобразование , единственное по доказанному выше утверждению, по трём конечным точкам , и , на которых преобразование имеет следующие конечные значения: , , .

Имеет место следующее утверждение: дробно-линейное преобразование , отображающее произвольные конечные комплексные точки , и в произвольные конечные точки , и соответственно, задаётся следующей неявной функцией: .

2. Дробно-линейное преобразование построено по трём точкам для случая, когда все шесть точек и , , конечные. В случае бесконечных точек нужно воспользоваться следующим мнемоническим правилом: в случае, если какая-то (только одна, так как одна на плоскости для z) или какая-то (только одна, так как одна на плоскости для w) или они обе вместе , то тогда в уравнении

разности с бесконечными и заменяются на константу 1, то есть попросту вычёркиваются.