Потенциал Сазерленда (Sutherland potential) — простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Впервые этот вид потенциала был предложен в 1893 году. Потенциал сочетает в себе твердую сердцевину (бесконечно сильное отталкивание на близких расстояниях) с притягивающим хвостом, описываемым степенным законом. Эта модель относительно реалистично передаёт свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчётах и при компьютерном моделировании.

Вид потенциала взаимодействия

Обобщённая форма потенциала Сазерленда описывается следующим образом:

где  — Intermolecular pair potential on SklogWiki .,  — расстояние между частицами 1 и 2, положение которых описывается радиусом-вектором .  — глубина потенциальной ямы,  — радиус соответствующей твёрдой сферы,  — параметр, контроллирующий скорость убывания потенциала до нуля.

На больших расстояниях данный потенциал является притягивательным

Отталкивание частиц происходит лишь на расстояниях, с бесконечной силой.

Общая форма взаимодействия между атомами или молекулами включает в себя отталкивающую часть на малых расстояниях и притягивающую часть на больших расстояниях. В качестве аналитического представления взаимодействия часто используется потенциал потенциала Леннарда-Джонса 6-12. Притягательный хвост, являющийся следствием флуктуаций электрических дипольных моментов, хорошо описывается законом . Однако описание отталкивающего центра является простым приближением степенного закона к реальному взаимодействию на близких расстояниях. Популярность потенциала 6-12 заключается, главным образом, в его математической элегантности. Потенциал Сазерленда рассматривает отталкивание на коротких расстояниях по-другому; он аппроксимирует взаимодействие в виде жесткого ядра. Притягивающий хвост описывается обычным дипольным законом .

+ Параметры потенциала Сазерленда () Газ Из измеренной вязкости Из измеренной самодиффузии 2.33 192 2.20 196 3.07 416 3.17 202 3.43 638 — —

Вириальные коэффициенты

+ Коэффициенты разложения третьего вириального коэффициента Коэффициент Значение коэффициента 0.625 -0.6448603 0.2861417 0.0709195 0.0027382 -0.0062834 -0.0035694 -0.0013018 -0.0003808 -0.0000961 -0.0000217

Второй вириальный коэффициент Второй вириальный коэффициент данного потенциала можно выразить в следующем виде

где  — приведённая температура, а  — обобщённая неполная гамма-функция:

Как известно, в общем виде второй вириальный коэффициент можно записать как

Подставим выражение потенциала Сазерленда

Сделаем подстановку и

Разложим экспоненту в ряд по степеням и почленно проинтегрируем

В результате получим, что второй вириальный коэффициент данного потенциала можно выразить в следующем виде

В высокотемпературном пределе второй вириальный коэффициент потенциала Сазерленда стремится к значению для потенциала :

при этом основное его изменение линейно, в отличие от, например, потенциала Леннарда-Джонса, который не имеет столь простого поведения при , что является следствием «размягчения» твёрдого ядра. Отметим, что при .

Связь параметров уравнения Ван-дер-Ваальса с параметрами потенциала

Параметры уравнения Ван-дер-Ваальса можно связать с параметрами потенциала Сазерленда следующим образом:

В выражении для второго вириального коэффициента разложим экспоненту в ряд, ограничившись только первыми двумя слагаемыми

Обратим внимание, что получившийся интеграл сходится только при

Учитывая, что для уравнения Ван-дер-Ваальса

Получим выражения для параметров уравнения:

Случай

При второй вириальный коэффициент возможно выразить как

где  — .

Температура Бойля и температура инверсии могу быть найдены из своих определений:

Третий вириальный коэффициент Третий вириальный коэффициент данного потенциала может быть получен в виде разложения по степеням :

где  — коэффициенты, первые 11 из которых приведены в таблице.

Закон Сазерленда + Постоянные пропорциональности для постоянных Сазерленда 2 0.2662 0.2336 3 0.2276 0.2118 4 0.2010 0.1956 6 0.1667 0.1736 8 0.1444 0.1556 + Постоянные Сазерленда и вязкость некоторых газов Газ , мкпз , 1 атм. 137 254 166 101 93 503 116 306 116 331 171 375 133 360 173 390 179 128 107 290 188 83 298 61 210 142 233 210 211 290 123 351 146 533 85 73 137 260 165 104 192 125

Используя метод Чепмена—Энскога можно получить следующее выражение для динамической вязкости газа и коэффициента самодиффузии :

где  — осреднённое сечение потери энергии,  — усреднённое диффузионное сечение потери импульса.

Точный расчет углов отклонения и эффективных сечений столкновения требует трудоемкой вычислительной работы. Однако если предположить, что притяжение относительно слабо, то высшими степенями , которые появляются при точном подходе к проблеме, можно пренебречь. В результате получим формулы Сюзерленда для вязкости и диффузии, широко используемые для получения кривых, соответствующих экспериментальным данным

где  — динамическая вязкость и коэффициент диффузии модели твёрдых сфер.

а  — постоянная Сазерленда, пропорциональная энергии взаимодействия двух молекул при их соприкосновении:

Данные соотношения лежат в основе полу-эмпирической формулы, носящей название закона Сазерленда, позволяющей рассчитать вязкость при температуре по известной вязкости при опорной температуре :

За опорную температуру обычно принимают 273.15K. Так, данные для воздуха , дают хорошую аппроксимацию в диапазоне температур . При этом подразумевается, что постоянная Сазерленда практически не зависит от температуры: для воздуха , .

При отсутствии данных по можно использовать следующую аппроксимацию:

где — температура кипения.

Сазерленд пришёл к этой зависимости при анализе экспериментально измеренной вязкости газа от температуры, впервые обратив внимание на зависимость газокинетического диаметра молекулы от температуры:

где — диаметр Стюарта, соответствующий размеру молекул при

Примечания Комментарии

Источники

Литература

См. также Межмолекулярное взаимодействие Потенциал Штокмайера Потенциал Букиннгема Потенциал Леннарда-Джонса

Ссылки Sutherland potential on SklogWiki.

Категория:Термодинамика Категория:Молекулярная физика Категория:Химическая связь Категория:Физическая химия Категория:Потенциал Категория:Именные законы и правила