Фигурные числа — натуральные числа, которые могут быть представлены в виде точек, образующих правильные геометрические фигуры или их регулярные конфигурации. Понятие восходит к пифагорейцам, которые изображали числа с помощью точек (или камешков), расположенных в форме различных многоугольников. Отголоском этого подхода остались выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб».
Традиционно различают два основных класса фигурных чисел: плоские многоугольные числа — фигурные числа, соответствующие многоугольникам; они делятся на классические и центрированные; пространственные многогранные числа — фигурные числа, соответствующие многогранникам. Существуют также обобщения фигурных чисел на многомерные пространства. В древности, когда арифметика не отделялась от геометрии, рассматривались ещё несколько видов фигурных чисел, в настоящее время не используемых.
В теории чисел и комбинаторике фигурные числа связаны с многими другими классами целых чисел — биномиальными коэффициентами, совершенными числами, числами Мерсенна, Ферма, Фибоначчи, Люка и другими.
Классические многоугольные числа Для краткости в этом разделе классические многоугольные числа называются просто «многоугольными числами».
Геометрическое определение
Многоугольные числа — это последовательность, указывающая число точек, построенных согласно правилам, которые проиллюстрируем на примере семиугольника. Ряд семиугольных чисел начинается с 1 (базовая точка), затем следует 7, потому что 7 точек образуют правильный семиугольник, 6 точек добавились. Третье число соответствует семиугольнику, у которого стороны содержат уже не по две, а по три точки, причём все точки, построенные на предыдущих шагах, также учитываются. Из рисунка видно, что третья фигура содержит 18 точек, прибавка (Пифагор называл её «гномон») составила 11 точек. Нетрудно видеть, что прибавки образуют арифметическую прогрессию, в которой каждый член на 5 больше, чем предыдущий.
Переходя к общему -угольнику, можно заключить, что на каждом шаге число точек, соответствующее фигурному числу, увеличивается как сумма арифметической прогрессии с первым членом 1 и разностью
Алгебраическое определение Общее определение k-угольного числа для любого следует из представленного выше геометрического построения. Его можно сформулировать следующим образом:
-е по порядку k-угольное число есть сумма первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а разность равна
Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда , а четырёхугольным (квадратным) числам соответствует ряд
Последовательность k-угольных чисел имеет вид:
Общую формулу для явного подсчёта -го по порядку k-угольного числа можно получить, представив его как сумму арифметической прогрессии:
В некоторых источниках последовательность фигурных чисел начинают с нуля (например, в ):
В этом случае в общей формуле для допускается В данной статье фигурные числа нумеруются начиная с единицы, а расширенный ряд оговаривается особо.
Существует также рекуррентная формула для вычисления многоугольного числа: . При увеличении числа сторон на единицу соответствующие фигурные числа изменяются согласно формуле Никомаха:
Поскольку линейно зависит от справедлива формула: , где . Другими словами, каждое многоугольное число есть среднее арифметическое для равноотстоящих от него по многоугольных чисел с тем же номером.
Если — простое число, то второе -угольное число, равное , также простое; это единственная ситуация, когда многоугольное число является простым, к чему можно прийти, записав общую формулу в следующем виде: . Доказательство: пусть Если чётно, то фигурное число делится на , а если нечётно, то делится на . В обоих случаях фигурное число оказывается составным.
Ряды из обратных многоугольных чисел
сходятся. Их сумма может быть представлена в виде где — постоянная Эйлера — Маскерони, — дигамма-функцияSameen Ahmed Khan. Sums of the powers ofreciprocals of polygonal numbers (формула 23).
Исторический очерк
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие видные математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский, Теон Смирнский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение -угольного числа как суммы членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть , а разность равна . Диофант написал большое исследование «О многоугольных числах» (III век н. э.), фрагменты которого дошли до наших дней. Определение Гипсикла приводится в книге Диофанта в следующем виде:
Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет треугольником, если же двойка, то четырёхугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной на двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу.
О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), которые установили ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.) Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён..
В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. В сентябре 1636 года Ферма сформулировал в письме Мерсенну теорему, которая сегодня называется теоремой Ферма о многоугольных числах:
Я первым открыл очень красивую и совершенно общую теорему о том, что каждое число является либо треугольным, либо суммой двух или трёх треугольных чисел; каждое число или квадратное, или является суммой двух, трёх или четырёх квадратов; или пятиугольное, или является суммой двух, трёх, четырёх или пяти пятиугольных чисел, и т. д. до бесконечности, будь то для шестиугольных, семиугольных или любых многоугольных чисел. Я не могу дать здесь доказательство, которое зависит от многочисленных и запутанных тайн чисел, ибо я намерен посвятить этой теме целую книгу и получить в этой части арифметики удивительные достижения по сравнению с ранее известными пределами.
Вопреки обещанию, Ферма так и не опубликовал доказательство этой теоремы, которую в письме Паскалю (1654) назвал своим главным достижением в математике. Проблемой занимались многие выдающиеся математики — в 1770 году Лагранж доказал теорему для квадратных чисел (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов), в 1796 году Гаусс дал доказательство для треугольных. Полное доказательство теоремы сумел дать Коши в 1813 году.
Разновидности классических многоугольных чисел
Треугольные числа
Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, … ()
Свойства:
Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное. Никакое треугольное число не может (в десятичной записи) оканчиваться цифрами 2, 4, 7, 9.
Обозначим для краткости -е треугольное число: Тогда справедливы рекуррентные формулы: ; .
Формула Баше де Мезириака: можно преобразовать так, что она покажет выражение любого многоугольного числа через треугольные:
Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число): .
Из теоремы Ферма о многоугольных числах следует, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел.
Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле: . Ряд из чисел, обратных треугольным (телескопический ряд), сходится: . Удвоенные треугольные числа дают последовательность (определённых ниже) прямоугольных чисел.
Натуральное число является треугольным тогда и только тогда, когда число является квадратным.
Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел: .
Треугольные числа образуют третью диагональную линию треугольника Паскаля.
Квадратные числа
Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … ().
Каждое квадратное число, кроме единицы, есть сумма двух последовательных треугольных чисел: . Примеры:
Сумма квадратного числа с предшествующим ему по номеру треугольным числом даёт пятиугольное число: . Эта теорема была впервые опубликована Никомахом («Введение в арифметику», II век).
Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле: .
Ряд обратных квадратных чисел сходится: .
Каждое натуральное число может быть представлено как сумма не более четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
Тождество Брахмагупты — Фибоначчи: произведение суммы двух квадратных чисел на любую другую сумму двух квадратных чисел само представимо в виде суммы двух квадратных чисел.
Поскольку второе слагаемое справа может быть равно нулю, здесь следует рассматривать расширенный ряд квадратных чисел, начинающийся не с 1, а с нуля (см. ).
Пример: .
Пятиугольные числа
Последовательность пятиугольных чисел имеет вид: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590 …, … ().
Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными: .
Как уже упоминалось выше, пятиугольное число, начиная со 2-го номера, можно представить как сумму квадратного и треугольного числа: .
Если в формуле указать для более общую последовательность: . то получатся обобщённые пятиугольные числа: 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… ().
Леонард Эйлер обнаружил обобщённые пятиугольные числа в следующем тождестве: . Степени в правой части тождества образуют последовательность обобщённых пятиугольных чисел.
Шестиугольные числа
1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780 …, … ().
Последовательность шестиугольных чисел получается из последовательности треугольных чисел вычёркиванием элементов с чётными номерами: .
Натуральное число является шестиугольным тогда и только тогда, когда число является натуральным.
Семиугольные числа
Восьмиугольные числа
Двенадцатиугольные числа Двенадцатиугольные числа вычисляются по формуле : 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, 1920 … (). В десятичной системе -ое двенадцатиугольное число заканчивается на ту же цифру, что и само число . Это следует из очевидного сравнения: откуда получаем: .
Определение, является ли заданное число многоугольным Задача 1 (задача Диофанта): дано натуральное число . Определить, является ли оно многоугольным числом и если да, то для каких и . Диофант сформулировал эту проблему так: «выяснить, сколько раз данное число встречается среди всевозможных многоугольных чисел».
Решение задачи сводится к решению «диофантова уравнения» (см. ): или: . Перепишем полученное уравнение в виде: .
Знаменатели дробей справа взаимно просты; сумма или разность таких дробей может быть целым числом только если каждая дробь есть целое числоВ самом деле, пусть (все числа целые) есть целое , причём , — взаимно просты. Умножая обе части на , получим: . Справа — целое число, поэтому делит , и, согласно обобщённой лемме Евклида, делит ., поэтому кратно , а кратно .
В результате алгоритм решения приобретает следующую форму: Выписать все натуральные делители числа (включая и само ). Выписать все натуральные делители числа . Отобрать из первого набора те числа, которые на больше какого-либо числа из второго набора. Эти числа соответствуют . Для каждого отобранного подсчитать . Вычеркнуть пары , в которых . Тогда все соответствующие оставшимся парам числа равны .
Пример. Пусть . Делители . Делители . Отбор . Соответственно . Последнее значение следует отбросить.