Асимптотическая размерность метрического пространства — аналог размерности Лебега на большой шкале. Асимптотическая размерность имеет важные приложения в геометрическом анализе и теории индексов.
Понятие асимптотической размерности было введено Михаилом Громовым в контексте геометрической теории групп, как квазиизометрический инвариант конечно порожденных групп. Как показал Гуолян Юй, конечно порожденные группы конечного гомотопического типа с конечной асимптотической размерностью удовлетворяют гипотезе Новикова.
Определение Пусть — метрическое пространство и целое число. Мы говорим, что если для каждого существует равномерно ограниченное покрытие пространства такое, что каждый замкнутый шар в пересекает не более подмножеств из . Здесь равномерно ограниченное означает, что существует такое, что диаметр любого множества в покрытии не превосходит .
Асимптотическая размерность определяется как наименьшее целое число, такое, что , если таких не существует, то .
Связанные определения
Говорят, что семейство метрических пространств удовлетворяет равномерно, если для каждого и каждого существует покрытие пространства множествами диаметра не более (независимо от ) такого, что каждый замкнутый -шар в пересекает не более подмножеств из .
Примеры
Если - метрическое пространство ограниченного диаметра, то . . . . Группа Григорчука имеет бесконечную асимптотическую размерность. Группа Томпсона имеет бесконечную асимптотическая размерность так как они содержат подгруппы, изоморфные для сколь угодно больших .
Свойства
Если является подпространством метрического пространства , то . Для любых метрических пространств и выполняется следующее неравенство . Если , тогда . Если является грубым вложением (например, квазиизометрическим вложением), то . Если и являются грубо эквивалентными метрическими пространствами (например, квазиизометрическими метрическими пространствами), то . Если — метрическое дерево, то . Пусть — липшицево отображение из геодезического метрического пространства в метрическое пространство . Предположим, что для каждого множества из семейства удовлетворяет неравенству равномерно. Тогда . Если является метрическим пространством с , то допускает грубое (равномерное) вложение в Гильбертово пространство. Если — метрическое пространство ограниченной геометрии с , то допускает грубое вложение в произведение локально конечных деревьев.
Асимптотическая размерность в геометрической теории групп Асимптотическая размерность приобрела особое значение в геометрической теории групп после статьи 1998 года Гуолян ЮYu, G. (1998). "The Novikov conjecture for groups with finite asymptotic dimension". Annals of Mathematics. 147 (2): 325–355. doi:10.2307/121011. JSTOR 121011 . S2CID 17189763. В ней было доказано, что если — конечно порожденная группа конечного гомотопического типа (то есть с классифицирующим пространством гомотопического типа конечного CW-комплекса), такая, что удовлетворяет гипотезе Новикова. Впоследствии было показано, что конечно порожденные группы с конечной асимптотической размерностью топологически аменабельныА. Н. Дранишников Асимптотическая топология, Успехи математических наук, 2000, том 55, выпуск 6(336), страницы 71–116, то есть удовлетворяют свойству Гуолян Ю, введенному в и эквивалентному точности приведенной C*-алгебры группы.
Если это словесно-гиперболическая группа, то .
Если является относительно гиперболической по отношению к подгруппам каждая из которых имеет конечную асимптотическую размерность, то .
Если , где конечно порождены, то .
Группы классов отображения ориентируемых поверхностей конечного типа имеют конечную асимптотическую размерность.
Пусть — связная группа Ли и — конечно порожденная дискретная подгруппа. Тогда .
Рекомендации
Дальнейшее чтение
Категория:Геометрическая теория групп Категория:Метрическая геометрия