Упорядоченная сумма — операция над упорядоченными множествами. Представляет собой естественный способ задать порядок на объединении упорядоченных множеств.
Упорядоченная сумма семейства попарно непересекающихся частично упорядоченных множеств , индексированное некоторым частично упорядоченным множеством , определяется как частично упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
Упорядоченную сумму можно рассмотреть для неупорядоченного множества индексов; тогда считается, что множество индексов тривиально упорядочено. Упорядоченную сумму можно рассмотреть и для семейства множеств, в котором некоторые множества пересекаются; тогда обычное объединение в определении нужно заменить на дизъюнктное.
Операция упорядоченной суммы индуцирует операцию на порядковые типы (требуется аксиома выбора); соответствующая операция называется суммой порядковых типов и обозначается аналогично: .
Различают два важных частных случая упорядоченной суммы: кардинальная сумма (множество индексов упорядочено тривиально) и ординальная сумма (множество индексов упорядочено линейно). В отличие от общей упорядоченной суммы, которую нельзя рассмотреть как -арную операцию (потому что дополнительно нужно было бы задать, какой из порядков на индексном множестве используется для суммирования), кардинальные и ординальные суммы можно (поскольку тривиальный порядок единственен, а на множестве есть естественный линейный порядок, и все остальные линейные порядки ему изоморфны). Для -арной кардинальной суммы используется обозначение , для -арной ординальной суммы может использоваться как обозначение , так и обозначение . Чтобы не путаться, в настоящей статье обозначение через будет использоваться только для кардинальных сумм.
Некоторые авторы могут использовать термин упорядоченная сумма и для -арной операции; в таких случаях обычно имеется в виду ординальная сумма. Как -арные операции кардинальные и ординальные суммы индуцируют соответствующие операции на порядковые типы уже без зависимости от аксиомы выбора. Для порядковых типов -арная операция сложения определена, и определяется она как операция, индуцированная ординальной суммой. При этом обозначается эта операция обычным знаком , а не . Таким образом, сумма порядковых типов для произвольного семейства индуцируется общей упорядоченной суммой, а для конечного числа аргументов — ординальной суммой. Определение суммы на порядковых типах более соответствует терминологии, при которой -арные ординальные суммы обозначаются через и называются упорядоченными суммами.
Кардинальная сумма Кардинальная сумма двух непересекающихся упорядоченных множеств и определяется как упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
Кардинальная сумма попарно непересекающихся упорядоченных множеств определяется как упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
Пусть — произвольное множество, — семейство попарно непересекающихся упорядоченных множеств, индексированное множеством . Тогда кардинальная сумма этого семейства определяется как упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
Данное определение является частным случаем общего определения упорядоченной суммы, если на задать тривиальный порядок. Поэтому упорядоченную сумму для неупорядоченного множества индексов определяют как обычную упорядоченную сумму для множества с тривиальным порядком. Кардинальную сумму можно понимать как упорядоченную сумму с тривиально упорядоченным множеством индексов, так и как упорядоченную сумму с неупорядоченным множеством индексов. -арные кардинальные суммы соответствуют упорядоченным суммам с конечными множествами индексов с тривиальным порядком. -арные кардинальные суммы не зависят от порядка слагаемых.
Свойства: (ассоциативность); (коммутативность);
Кардинальная сумма может быть определена на случай пересекающихся слагаемых, если в определении заменить обычное объединение на дизъюнктное.
Ординальная сумма Ординальная сумма двух непересекающихся упорядоченных множеств и определяется как упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
Ординальная сумма попарно непересекающихся упорядоченных множеств определяется как упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
Пусть — линейно упорядоченное множество, — семейство попарно непересекающихся упорядоченных множеств, индексированное множеством . Тогда ординальная сумма этого семейства определяется как упорядоченное множество , где отношение определяется следующим образом:
Обозначение: .
-арные ординальным суммы соответствуют упорядоченным суммам с множеством в качестве множества индексов и стандартным порядком на нём. -арные ординальные суммы зависят от порядка слагаемых: это можно видеть на примере известного неравенства арифметики ординалов:
Ординальная сумма линейно упорядоченных множеств — линейно упорядоченное множество.
Свойства: (ассоциативность);
Примечания
Литература
Категория:Теория множеств Категория:Теория порядков Категория:Упорядоченные множества