Теорема о вырезании — это теорема алгебраической топологии об относительной гомологии и одной из аксиом Эйленберг-Стинрода. Пусть заданы топологическое пространство и подпространства и , такие что также является подпространством . Теорема гласит, что при определённых обстоятельствах, мы можем вырезать из обоих пространств так, что относительные гомологии пар в будут изоморфны.
Это помогает в вычислении групп сингулярной гомологии, так как иногда после вырезания подходящего подпространства мы получаем что-то более простое для вычисления.
Теорема
Утверждение Если , как указано выше, мы говорим, что может быть вырезано, если включение пары в индуцирует изоморфизм на относительных гомологиях:
Теорема утверждает, что если замыкание содержится во внутренности , то можно вырезать.
Часто подпространства, которые не удовлетворяют этому условию содержания, всё равно можно вырезать — достаточно найти ретракт подпространств на подпространства, которые удовлетворяют ему.
Набросок доказательства Доказательство теоремы о вырезании интуитивно понятно, хотя детали довольно сложны. Идея состоит в том, чтобы разбить симплексы в относительном цикле в , чтобы получить другую цепь, состоящую из «меньших» симплексов, и продолжать этот процесс, пока каждый симплекс в цепи не будет полностью лежать внутри или внутри . Поскольку они образуют открытое покрытие для и симплексы являются компактными, мы в конечном итоге можем сделать это за конечное количество шагов. Этот процесс не изменяет исходный гомологический класс цепи (это говорит о том, что оператор разбиения — цепной гомотопический к идентичному отображению на гомологии). В относительной гомологии это означает, что все члены, полностью содержащиеся внутри , можно отбросить, не влияя на гомологический класс цикла. Это позволяет нам показать, что включение является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен тому, который полностью избегает .
Применения
Аксиомы Стинрода — Эйленберга Теорема о вырезании считается одной из аксиом Стинрода — Эйленберга.
Последовательности Майера — Вьеториса Последовательность Майера — Вьеториса может быть получена с помощью комбинации теоремы о вырезании и длинной точной последовательностиСм. например, Хатчер 2002, стр.149.
Теорема о суспензии для гомологий Теорему о вырезании можно использовать для вывода теоремы о суспензии для гомологий, которая гласит для всех , где — это суспензия См. например, Хатчер 2002, стр.132.
Инвариантность размерности Если непустые открытые множества и гомеоморфны, то m = n. Это следует из теоремы о вырезании, длинной точной последовательности для пары и того факта, что деформируется на сферу. В частности, не гомеоморфно , если См. Хатчер 2002, стр.135.
Литература
Библиография Джозеф Джей Ротман, Введение в алгебраическую топологию, Springer-Verlag, Аллен Хатчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Теория гомотопий Теоремы в топологии