Названо в честь Эрнста Шрёдера. Это уравнение на собственные значения для оператора композиции
,
где искомая неизвестная функция, фиксированное собственное число, a заданное 'ядро' оператора композиции. Уравнение применяется в нелинейной и хаотической динамике, в теории турбулентности, и в задачах, где возникают многократные функциональные композиции и самоподобные структуры.
Решение уравнения Шрёдера В общем случае решение выписать аналитически не удастся, поскольку уравнение так же сложно как и родственное ему Уравнение Абеля. Вот некоторые частные случаи
По поводу данных примеров, и их практического значения, см..
Если функция задана в виде ряда по степеням , то зачастую возможно выписать ряд и для решения .
Существуют некоторые общие результаты относительно существования решения уравнения Шрёдера. Например, если неподвижная () и притягивающая () точка для аналитического отображения , то уравнение Шрёдера имеет решение с собственным числом .
Некоторые применения уравнения Шрёдера
Группа итераций. С помощью можно обобщить функциональные композиции (итерация раз) с дискретного параметра на непрерывный
Например, при мы получаем функциональный квадратный корень, который удовлетворяет уравнению .
Отношения вероятностей редких событий. Пусть
производящая функция для ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона , в котором хотя бы одна частица выживает (). Соответственно, все независимы и одинаково распределены, с дискретной характеристической функцией . Тогда, если , рост популяции будет экспоненциальный. Тем не менее, вероятность того, что на каждом шаге будет лишь одна частица, не нулевая . Можно даже определить отношения редких событий в пределе и их генерирующую функцию
Тогда будет удовлетворять уравнению Шрёдера с начальными условиями
Обобщённое (интегральное) уравнение Шрёдера. Если в предыдущем примере предположить, что на каждом шаге ветвление происходит не с фиксированными вероятностями, определяемыми единственной характеристической функцией , а характеристические функции выбираются случайно среди , где принадлежит некоторому вероятностному пространству , то тогда уравнение для генерирующей функции отношения редких событий примет вид
В случае одноточечного вероятностного пространства, обобщённое интегральное уравнение обращается в классическое уравнение Шрёдера.
Примечания
Категория:Функциональные уравнения Категория:Математическая физика