Проблема Кадисона — Зингера — математическая гипотеза, выдвинутая в 1959 году и подтвержденная в 2013 году, согласно которой расширения линейных функционалов на -алгебре при некоторых ограничениях являются единственными.
Впервые утверждение встречается в работах Поля Дирака по квантовой механике 1940-х годов, формализовано в 1959 году и Изадором Зингером. Впоследствии было показано, что это утверждение эквивалентно многочисленным открытым математическим проблемам, а также ряду гипотез из прикладных направлений. Кадисон, Зингер и большинство изучавших проблему специалистов считали утверждение ложным, однако в 2013 году его истинность была доказана Адамом Маркусом, Дэниелом Спилменом и , получившими в 2014 году Премию Пойи за этот результат.
Решение стало возможным благодаря альтернативной формулировке, предложенной Джоэлом Андерсоном: в 1979 году им доказана эквивалентность проблемы Кадисона — Зингера сформулированной им «гипотезе о брусчатке», в которой присутствуют операторы только в конечномерных гильбертовых пространствах. Ник Уивер предложил другую формулировку для конечномерного случая, и эта версия и была доказана с помощью техники случайных многочленов.
Оригинальная формулировка Оригинальная формулировка использует сепарабельное гильбертово пространство ℓ2 и две связанные с ним -алгебры — алгебру всех непрерывных линейных операторов и алгеброй всех диагональных непрерывных линейных операторов .
на -алгебре называют линейный функционал такой, что (где обозначает нейтральный элемент алгебры) и для любого . Такое состояние называется чистым, если оно является экстремальной точкой множества всех состояний на (то есть если его нельзя записать в виде выпуклой комбинации других состояний на ).
По теореме Хана — Банаха любой функционал на может быть расширен до . Кадисон и Зингер предположили, что для случая чистых состояний это расширение единственно. То есть задача Кадисона — Зингера заключалась в доказательстве или опровержении следующего утверждения: для любого чистого состояния на существует единственное состояние на , которое является расширением . Утверждение оказалось верным.
Гипотеза о дорожном покрытии Проблема Кадисона — Зингера имеет положительное решение тогда и только тогда, когда верна следующая «гипотеза о дорожном покрытии» — для каждого существует натуральное число такое, что справедливо следующее: для каждого и каждого линейного оператора , заданного над -мерным гильбертовым пространством , с нулями на диагонали существует разбиение множества на наборов такое, что:
для любых .
Здесь обозначает ортогональную проекцию на пространство, натянутое стандартными единичными векторами, соответствующими элементам так что матрица получается из матрицы заменой всех строк и столбцов, которые не соответствуют индексам в на 0. Матричная норма — спектральная норма, то есть норма оператора относительно евклидовой нормы . В этом утверждении может зависеть не только от , но и от .
Эквивалентное утверждение о несоответствии Следующее утверждение о «» также эквивалентно проблеме Кадисона — Зингера, как было показано в работе Ника Уивера 2004 года: если векторы такие, что ( единичная матрица) и для любых , то существует разбиение на два множества и таких, что: , где .
Это утверждение означает следующее: если векторы таковы, что для и имеет место: , то существует разбиение на два набора и таких, что для выполнено: для всех таких, что .
Здесь «несоответствие» становится видимым, когда достаточно мало: квадратичная форма на единичной сфере может быть разбита на две примерно равные части, то есть части, значения которых не сильно отличаются от 1/2 на единичной сфере. В этой форме теорему можно использовать для вывода утверждений об определённых разбиениях графов.
К этой формулировке Маркус, Спилмен и Шривастава применили технику случайных многочленов для доказательства гипотезы в 2013 году.
Примечания
Ссылки
Категория:Квантовая механика Категория:Операторные алгебры