Спектральное представление Каллена — Лемана (представление Лемана) даёт общее выражение для (упорядоченной по времени) двухточечной корреляционной функции в квантовой теории поля с взаимодействием как суммы свободных пропагаторов. Оно было открыто Гуннаром Челленном в 1952 году и независимо Гарри Леманном в 1954 году. Это представление можно записать, используя метрику с отрицательной сигнатурой, как
где — функция спектральной плотности, которая должна быть положительно определённой. В калибровочной теории это последнее условие не может быть выполнено, но, тем не менее, можно обеспечить спектральное представление. Представление относится к непертурбативным методам квантовой теории поля.
Вывод В следующем выводе используется метрика с отрицательной сигнатурой. Чтобы получить спектральное представление для пропагатора поля , рассматривается полный набор состояний так что для двухточечной корреляционной функции можно написать
Теперь мы можем использовать инвариантность к группе Пуанкаре вакуума, чтобы записать
Далее введём функцию спектральной плотности
.
Где мы использовали тот факт, что наша двухточечная функция, будучи функцией , может зависеть только от квадрата . Кроме того, все промежуточные состояния имеют и . Сразу становится понятно, что функция спектральной плотности действительна и положительна. Можно написать
и, меняя местами интегрирование это выражение записывается как
где
.
Из теоремы CPT также известно, что идентичное выражение справедливо для и таким образом мы приходим к выражению для упорядоченного по времени произведения полей
где введенено обозначение
для пропанатора свободных частиц. Теперь, когда у нас есть точный пропагатор, заданный упорядоченной по времени двухточечной функцией, мы получили спектральное разложение.
Примечания
Литература
Категория:Квантовая теория поля