Неустойчивость Остроградского — явление, характерное для теорий с уравнениями Эйлера — Лагранжа, имеющими порядок выше второго. В этом случае, если лагранжиан невырожден, соответствующий ему гамильтониан неограничен снизу, что приводит к появлению в теорий неустойчивостей.
Теорема Остроградского может служить одним из возможных объяснений, почему, как правило, дифференциальные уравнения физических теорий имеют порядок не выше второго. Тем не менее, известно достаточно много примеров теорий с высшими производными (вырождённых), не имеющих данной неустойчивости.
Пример Продемонстрируем теорему Остроградского в контексте механики следующим простым примером. Рассмотрим теорию с лагранжианом
где — константа, а — произвольный потенциал. Уравнения движения имеют тогда четвёртый порядок, , соответственно, в теории имеется две динамические степени свободы, одна из которых является патологической (и называется в контексте теории поля духом Остроградского). Действительно, заметим, что
даёт нам те же самые уравнения Эйлера-Лагранжа, что и исходный лагранжиан, с учётом . Но тогда в новых переменных и мы получаем
где неправильный знак у кинетического члена и сигнализирует о присутствии духовой неустойчивости.
В общем случае данное рассуждение применимо для всех теорий с лагранжианами высших порядков, кроме случаев, когда такой лагранжиан вырожден (то есть определитель кинетической матрицы равен нулю).
Примечания
Категория:Гамильтонова механика Категория:Вариационное исчисление Категория:Математическая физика