Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.
Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической, дифференциальной и начертательной геометрии.
Примеры Круговая цилиндрическая поверхность (получается вращением прямой вокруг параллельной ей прямой). Конус (получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую). Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр). Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости). Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают (получается вращением эллипса вокруг одной из его осей). Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси. Катеноид (получается вращением цепной линии).
Площадь Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде.
Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна .
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , можно вычислить по формуле
.
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , можно вычислить по формуле
.
Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат , действительна формула
.
Объём Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.
Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси , можно вычислить по формуле
.
Вариации и обобщения Искривлённое произведение
Примечания
Категория:Геометрические фигуры