Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычитание векторов, — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. При этом разность двух векторов и — это третий вектор такой, что (см. рисунок справа с треугольником вычитания векторов). Разность векторов определяется через сумму векторов либо с использованием противоположного вектора, либо без. Первый вектор разности называется уменьшаемым, а второй — вычитаемым.
Определение Вычита́ние векторо́в, или геометри́ческое вычита́ние векторо́в — операция, обратная сложению, ставящая в соответствие двум векторам третий вектор — разность векторов, другими словами, по сумме векторов и одному слагаемому определяется второе слагаемое этой суммы. Обозначается обычным знаком минус:
Определение без использования противоположного вектора
Следующее определение разности аналогично определению разности чисел.
Разность двух векторов и — это третий вектор такой, что (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов).
Разность существует для любых двух векторов, что следует из следующего правила её построения.
Правило построения разности векторов без обратного вектора состоит в следующем. Разность любых двух векторов и , отложенных от одной точки, — это третий вектор , проведённый от конца вектора к концу вектора (см. рисунок в начале статьи с треугольником вычитания векторов).
Операция вычитания векторов обладает следующими определяющими свойствами: всегда выполнима; однозначна, то есть из следует
Если на двух неколлинеарных векторах построить параллелограмм, то тогда одна диагональ этого параллелограмма будет представлять сумму этих двух векторов. а другая — их разность (см. рисунок справа с параллелограммом сложения векторов).
Противоположный вектор Вектор, противоположный данному вектору — вектор, равный по модулю данному и противоположно ему направленный. Вектор, противоположный нулевому вектору, определяется тоже как нулевой. Вектор, противоположный вектору , обозначается той же буквой с поставленным перед ней обычным знаком минус (см. рисунок справа):
Также противоположный вектор можно определить как вектор .
Из определения противоположного вектора следуют равенства:
Определение с использованием противоположного вектора Теорема 1.
для любых векторов и (см. рисунок справа).
Доказательство. Из определения разности векторов получаем:
На основании этой теоремы можно определить понятие разности следующим образом.
Разность двух векторов и — это третий вектор (см. рисунки справа).
Правило построения разности векторов с использованием обратного вектора состоит в следующем. Разность любых двух векторов и — это третий вектор , проведённый от начала вектора к концу вектора , причём конец первого вектора совпадает с началом второго (см. рисунки справа).
Если взять за исходное второе определение разности векторов, то первое определение можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 2. Вычитание векторов — операция, обратная сложению векторов, то есть по сумме векторов и одному из слагаемых находится второе слагаемое — разность суммы и первого слагаемого:
для любых векторов и (см. рисунок в начале статьи и рисунок справа).
Доказательство. Вычислим:
Теорема 3. Вектор-слагаемое можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком.
Доказательство. Пусть
Тогда по теореме 2 получаем:
Итак, операции сложения и вычитания векторов имеют такие же свойства, какие известны в арифметике чисел.
Правило раскрытия скобок Теорема 4. Правило раскрытия скобок.
Модуль разности Так как длина отрезка не превосходит длины ломаной, соединяющей его концы, то выполняются неравенство треугольника: модуль разности двух векторов не больше разности модулей этих векторов:
В случае коллинеарных векторов: если два вектора направлены одинаково, то модуль разности двух векторов равен разности модулей уменьшаемого и вычитаемого, если модуль уменьшаемого больше модуля вычитаемого:
Для модуля разности векторов возможны три случая (см. рисунок ниже):
Имеет место следующее тождество: , другими словами, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей (см. рисунок с параллелограммом сложения и вычитания векторов в разделе Определение без использования противоположного вектора).
Источники
Литература
Дополнительная литература
Категория:Линейная алгебра Категория:Векторы