Данная статья — часть обзора Математика исламского Средневековья. Числовая система, используемая в исламском мире, прошла значительную эволюцию, начиная с первых веков исламской цивилизации. Буквенная абджадия была первой системой арабской нумерации, а с VIII века багдадской школой была предложена десятичная позиционная система. Кроме индийской десятичной системы также использовалась вавилонская шестидесятеричная система — именно в исламском мире впервые было предложено разделение часа на шестидесятеричные части (минуты, секунды, терции). В средневековый период математики стран ислама расширили определение числа от натурального, которое было принято в Древней Греции, до вещественного. Они разработали теорию иррациональных чисел и теорию отношений произвольных величин, открыли концепцию десятичных дробей и систематизировали правила работы с отрицательными числами. Их достижения заложили фундамент для дальнейшего развития математики в Европе и оказали существенное влияние на формирование современной арифметики и других дисциплин.

Число ноль Существенным элементом представления десятичных разрядов чисел является символ нуля, который указывает на отсутствие значения в соответствующем разряде: например, число 304 содержит трижды 100, ни разу 10 и четырежды 1; в отличие от числа 34, которое содержит трижды 10 и четыре раза 1. Эта важная концепция нуля восходит к индийской математике, где она использовалась, по крайней мере, с VII века. Ноль по-арабски назывался сифр («пустой», «ничто»); это название породило, среди прочего, немецкое слово «Ziffer» и английское «zero», обозначающие ноль, русское слово «шифр», а также русское, украинское, болгарское и сербское слово «цифра», польское «cyfra», чешское «cifra» и французское «chiffre».

Рациональные и иррациональные числа

В античной греческой математике существовало строгое разграничение между числами и величинами. Числами считались только натуральные числа, а к величинам относили непрерывные сущности, такие как длины, площади, объёмы, углы или время — они могли быть произвольно делимыми и измеряемыми. Различая эти понятия, греки создали две разные теории для работы с ними: теорию отношений натуральных чисел и общую теорию отношений непрерывных величин. Хотя в позднеэллинистический период начали появляться идеи сближения этих концепций, античные математики не стремились разработать универсальные арифметические правила для отношений и не рассматривали их как числа.

Математики исламского мира объединили понятия числа и величины в более широкую концепцию вещественных чисел. Аль-Хорезми (780—850) ввёл различие между рациональными и иррациональными корнями чисел, а Мухаммад аль-Махани (820—880) классифицировал иррациональные величины и показал их поведение при арифметических операциях. Сабит ибн Курра (836—901) пошёл ещё дальше, применяя числовые термины к непрерывным величинам и свободно производя с ними арифметические действия. Его подход стал ключевым шагом к преодолению дуализма между числами и геометрическими величинами.

В X веке арабские учёные продолжили систематизацию знаний об иррациональностях. Ахмад аль-Ахвази ограничился классификацией только квадратных иррациональностей, но использовал арифметический подход. Аль-Хашими предложил строгое доказательство иррациональности произведений и частных. Абу Джафар аль-Хазин (900—971) дал чёткое определение рациональных и иррациональных величин через их соотношение с единичной величиной. Ибн Тахир аль-Багдади (961/980—1037) в своём трактате доказал существование бесконечного числа иррациональностей между любыми двумя рациональными числами, соединив идеи Евклида с новыми числовыми представлениями.

Завершил переход от геометрического к числовому пониманию величин Омар Хайям (1048—1131), который теоретически обосновал расширение понятия числа до всех положительных действительных. Далее числовую природу иррациональностей исследовал Джамшид аль-Каши (1380—1429), уточнивший понятие корня как степени. Их работы подготовили почву для восприятия иррациональностей как чисел, что впоследствии повлияло на европейскую науку. Учение исламских математиков, переданное в Европу через таких учёных, как Леонардо Пизанский, стало фундаментом для развития теории действительных чисел, окончательно сформулированной лишь в XIX веке Дедекиндом, Кантором и Вейерштрассом.

Системы счёта Числовая система, используемая в исламском мире, прошла значительную эволюцию, начиная с первых веков исламской цивилизации. Буквенная абджадия была первой системой арабской нумерации, а с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему. Пальцевый счёт использовался в деловых кругах, а шестидесятиричная вавилонская система — в астрономии. К X веку три последние системы все ещё широко использовались в своих областях. Авторы, такие как Ибн Тахир аль-Багдади, создавали труды, в которых сравнивали данные системы.

Десятичная позиционная система

В IX веке аль-Хорезми (780—850) написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшей популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до мусульманской Испании. В этом сочинении впервые было дано систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления. В XII веке эта книга переводится на латинский. Произведение сохранилось только в единственном экземпляре на латинском, арабский оригинал был утерян. Перевод начинается со слов «Dixit Algorizmi» («Аль-Хорезми сказал»).

От имени аль-Хорезми () произошло слово «алгоритм». В отличие от современного понятия, которое означает любой набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи, в средние века европейские математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления, а позднее так стало называться любое вычисление по строго определённым правилам.

Одним из самых ранних трудов по арифметике, сохранившихся в оригинале на арабском, является книга Кушьяра ибн Лаббана (971—1029). Она оказала большое влияние на исламские страны и сыграла важную роль в окончательном распространении десятичной системы.

Цифры для десятичной системы были заимствованы из Индии, однако не существовало единого стандартного набора символов. В разных частях исламского мира формы цифр отличались. Изначально индийские методы вычислений применялись используя так называемую «доску для пыли». Она была необходима, поскольку вычисления требовали перемещения и удаления цифр в процессе работы. Доска для пыли позволяла выполнять эти действия так же, как современные маркерная доска или школьная доска с мелом и губкой. Аль-Уклидиси в X веке шагнул вперёд, предложив способы адаптации этих методов для работы на бумаге.

Одним из поздних исламских математиков, в трудах которого отражается развитие десятичной позиционной системы, был аль-Умави (1400–1489). Он описал методы определения делимости чисел на 7, 8, 9 и 11, основанные на анализе разрядов в десятичной записи. Фактически он сформулировал частные случаи теоремы, позднее изложенной Паскалем. Кроме того, он разработал условия, позволяющие определить, является ли число квадратом или кубом, используя исключительно свойства его записи и остатки от деления на 7, 8 и 9. Эти наблюдения были уникальны для арифметики его времени и свидетельствуют о глубоком понимании закономерностей позиционной системы счисления.

Шестидесятеричная система В шестидесятеричной системе цифры обозначались буквами арабского алфавита. Она пришла от вавилонян и чаще всего использовалась арабскими математиками в астрономических работах.

Аль-Бируни был первым, кто разделил час на шестидесятеричные части: минуты, секунды, терции и четверти в 1000 году. Шестидесятеричную систему до сих пор применяют при измерении времени, углов, географических координат и для электронной навигации.

В 1424 году Аль-Каши вычислил число π с рекордной точностью в 9 знаков в шестидесятеричной системе счисления. После чего он перевёл число в десятичную систему, получив точность в 16 десятичных знаков после запятой. В 1427 году в трактате «Ключ к арифметике» он подробно описал шестидесятеричную систему счисления. В астрономических трудах древних греков в этой системе записывалась только дробная часть числа, тогда как целая часть фиксировалась в традиционной буквенной ионической системе. Аль-Каши предложил записывать в шестидесятеричной системе и целую часть, тем самым фактически вернувшись к форме записи, принятой у древних вавилонян. Однако сам он, вероятно, об этом не знал. В том же трактате Аль-Каши вводит десятичные дроби, формулирует основные правила действий с ними и описывает способы перевода шестидесятеричных дробей в десятичные и обратно.

Пальцевый счёт Система счета, основанная на использовании пальцев и записи чисел словами, была популярна в деловом сообществе Восточного халифата, даже несмотря на наличие индийских цифр. В отличие от римского пальцевого счёта, правая рука обозначала сотни, а левая — единицы и десятки, что соответствовало арабскому письму справа-налево. На восточных базарах и в портах Красного моря торговцы разработали уникальный язык жестов для тайного согласования цен. Они скрывали руки под тканью и касались ладоней по определённым правилам, чтобы избежать вмешательства посредников и конкурентовКарл Меннингер «История цифр. Числа, символы, слова», — М: ЗАО Центрполиграф, 2011, С. 49-53, 257—278. ISBN 978-5-9524-4978-7. Математик Абу-ль-Вафа, будучи экспертом в индийских цифрах, адаптировал свои работы под пальцевую арифметику, чтобы соответствовать потребностям делового сообщества.

Локальные системы

Коптские числа были разработаны в X веке для административных целей. Они представляют собой очень беглые формы коптских букв и обычно использовались только в узкоспециализированных областях, например в коптско-арабских рукописях, включая астрономические тексты и счётные книги, где традиционный способ записи чисел с использованием букв алфавита не применялся. Руми — числовая система, которая использовалась в Северной Африке с X по XVII века и происходила из коптской или греко-коптской традиции. Её использовали в администрации города Фес, а также в аль-Андалусе с XII века. Cийяк (также сиякат, ракм, раккамлары) — семейство акрофонических (то есть сокращение арабских прописей «один», «два» и т.д.) систем цифровой нотации, которые использовались для налогового учёта и записи чисел . Задокументированы четыре разновидности сийякской записи чисел: южноазиатская (исламская Индия, XVII–XX века, где единицы и десятки обозначаются уменьшенными арабскими цифрами, а более крупные разряды — сокращёнными индийскими числительными), османская , персидская и арабская (дивани). Все четыре разновидности характеризуются общей типологией и схожими принципами орфографии.

Дробные числа Дроби в арабской математике, в отличие от древнегреческой, считались такими же полноценными числами, как и натуральные. Сперва их записывали вертикально, как индийцы, а современную черту дроби впервые ввёл аль-Хасар около 1200-го года. Позднее они появились в трудах Фибоначчи, который был хорошо знаком с математикой исламского мира, и через него распространились в Европе.

Наряду с привычными дробями в быту использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Аль-Уклидиси (920—980) был первым, кто ввёл десятичные дроби, однако при нём они не получили широкого распространения. Он ещё не использовал современную запись с десятичным разделителем, а обозначал разряд единиц, помещая над ним небольшую вертикальную черту. Использование десятичных дробей аль-Уклидиси в значительной степени представляло собой технический приём и вспомогательное средство для вычислений.