Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидание мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.
Терема является важным инструментом финансовой математики. Названа в честь Джозефа Дуба — американского специалиста по теории вероятностей .
Формулировка
Ниже приведена версия теоремы для дискретного времени. Пусть обозначает множество натуральных целых чисел.
Пусть — мартингал с дискретным временем, а — время остановки со значениями в относительно фильтрации . Предположим, что выполняется одно из следующих трех условий:
( a ) Время остановки почти наверняка ограничено, то есть существует константа такой, что почти наверняка ( b ) Время остановки имеет конечное матожидание, а условные математические ожидания абсолютного значения приращений мартингала почти наверняка ограничены, точнее, и существует константа такая, что почти наверное на событии } для всех . ( c ) Существует константа такая, что для всех , где обозначает минимальный оператор .
Тогда — почти хорошо определенная случайная величина и
Замечания
Аналогично, если стохастический процесс является субмартингалом или супермартингалом и выполняется одно из вышеуказанных условий, тогда
для субмартингала и
для супермартингейла.
Примеры
Мартингалы применяются в моделировании выигрыша в честной игре, и теорема в частности говорит, что в среднем нельзя выиграть, остановив игру на основе информации, доступной на данный момент.
Предположим, что игрок может поставить до 1 рублю на честное подбрасывание монеты в моменты 1, 2, 3 и т. д., выигрывая свою ставку, если выпадет орёл, и проигрывая, если выпадет решка. Предположим, что он решил выйти из игры после выпадания десяти орлов подряд. Тогда его средний выигрыш будет равен нулю.
Необходимо позаботиться о том, чтобы одно из условий теоремы выполнялось. Например, предположим, что в рассмотренном примере остановка происходила только при выигрыше 1 рубля. Значение в этот момент остановки будет, следовательно, . Следовательно, ожидаемое значение также должно быть , что, по-видимому, противоречит теореме, которая дала бы . Невыполнение теоремы показывает, что ни одно из трёх условий не выполняется.
Категория:Мартингалы Категория:Теоремы статистики Категория:Теоремы теории вероятностей и математической статистики Категория:Финансовая математика