Выпуклой оболочкой множества называется наименьшее выпуклое множество, содержащее . «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.
Обычно выпуклая оболочка определяется для подмножеств векторного пространства над вещественными числами (в частности в евклидовом пространстве) и на соответствующих аффинных пространствах.
Выпуклая оболочка множества обычно обозначается .
Пример
Представьте себе доску, в которую вбито — но не по самую шляпку — много гвоздей. Возьмите верёвку, свяжите на ней скользящую петлю (лассо) и набросьте её на доску, а потом затяните. Верёвка окружает все гвозди, но касается она только некоторых, самых внешних. В таком положении петля и окружённая ей область доски являются выпуклой оболочкой для всей группы гвоздейДаниэль Хэльпер, курс «Построение алгоритмов», Хайфский университет..
Свойства — выпуклое множество тогда и только тогда, когда . Для произвольного подмножества линейного пространства существует единственная выпуклая оболочка — это пересечение всех выпуклых множеств, содержащих . При этом
Более того, если размерность пространства равна то верна следующая теорема Каратеодори:
Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причём его вершины являются подмножеством исходного набора точек. Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве. Выпуклая оболочка равна пересечению всех полупространств, содержащих . Теорема Крейна — Мильмана. Выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве совпадает с замыканием выпуклой оболочки множества своих крайних точек
Вариации и обобщения
Выпуклой оболочкой функции f называют такую функцию , что ,
где epi f — надграфик функции f.
Стоит отметить связь понятия выпуклой оболочки функции с преобразованием Лежандра невыпуклых функций. Пусть f * — преобразование Лежандра функции f. Тогда если —собственная функция (принимает конечные значения на непустом множестве), то
— выпуклое замыкание f, то есть функция, надграфик которой является замыканием надграфика f.
Сложность построения Из теоремы о верхней границе вытекает, что выпуклая оболочка множества из точек в пространстве размерности может быть построена алгоритмом сложности для двумерного и трёхмерного случая и алгоритмом сложности в пространствах более высокой размерности.
См. также
Алгоритм быстрой оболочки Алгоритм Грэхема Алгоритм Джарвиса Алгоритм Киркпатрика Алгоритм Чена Выпуклость Лемма Шепли — Фолкмана Метод эластичной сети
Примечания
Литература Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — : Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
Г. Г. Магарил-Ильяев, В. М. Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. Изд. 2-е, исправл. —М.: Едиториал УРСС. 2003. —176 с. —ISBN 5-354-0262-1.
Категория:Выпуклая геометрия Категория:Выпуклые оболочки Категория:Выпуклый анализ